Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41251 / 7336
↖ ↑ ↗
← N 80.020042°
E 46.598511°		 ← 105.85 m → N 80.020042°
E 46.604004°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
N 80.019090°
E 46.598511°		 ← 105.86 m →
11 209 m²		 N 80.019090°
E 46.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629447937011719 y=0.111946105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629447937011719 × 216)
    floor (0.629447937011719 × 65536)
    floor (41251.5)     		tx = 41251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111946105957031 × 216)
    floor (0.111946105957031 × 65536)
    floor (7336.5)     		ty = 7336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41251 / 7336 ti = "16/41251/7336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41251/7336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41251 ÷ 216
    41251 ÷ 65536     		x = 0.629440307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7336 ÷ 216
    7336 ÷ 65536     		y = 0.1119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629440307617188 × 2 - 1) × π
    0.258880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81329744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1119384765625 × 2 - 1) × π
    0.776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43826246227454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81329744} λ = 0.81329744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43826246227454))-π/2
    2×atan(11.4531232104214)-π/2
    2×1.48370476331483-π/2
    2.96740952662965-1.57079632675     		φ = 1.39661320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81329744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.598511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39661320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.020042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41251 KachelY 7336 0.81329744 1.39661320 46.598511 80.020042
    Oben rechts KachelX + 1 41252 KachelY 7336 0.81339331 1.39661320 46.604004 80.020042
    Unten links KachelX 41251 KachelY + 1 7337 0.81329744 1.39659658 46.598511 80.019090
    Unten rechts KachelX + 1 41252 KachelY + 1 7337 0.81339331 1.39659658 46.604004 80.019090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39661320-1.39659658) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39661320-1.39659658) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81329744-0.81339331) × cos(1.39661320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173303682869475 × 6371000     		do = 105.851769992631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81329744-0.81339331) × cos(1.39659658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173320051358922 × 6371000     		du = 105.861767665799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39661320)-sin(1.39659658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173303682869475-0.173320051358922)×R²
    abs(0.81339331-0.81329744)×1.63684894472493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63684894472493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63684894472493e-05×40589641000000     		ar = 11208.7519420199m²