Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41251 / 7333
↖ ↑ ↗
← N 80.022898°
E 46.598511°		 ← 105.82 m → N 80.022898°
E 46.604004°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 80.021946°
E 46.598511°		 ← 105.83 m →
11 199 m²		 N 80.021946°
E 46.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629447937011719 y=0.111900329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629447937011719 × 216)
    floor (0.629447937011719 × 65536)
    floor (41251.5)     		tx = 41251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111900329589844 × 216)
    floor (0.111900329589844 × 65536)
    floor (7333.5)     		ty = 7333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41251 / 7333 ti = "16/41251/7333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41251/7333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41251 ÷ 216
    41251 ÷ 65536     		x = 0.629440307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7333 ÷ 216
    7333 ÷ 65536     		y = 0.111892700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629440307617188 × 2 - 1) × π
    0.258880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81329744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111892700195312 × 2 - 1) × π
    0.776214599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43855008367226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81329744} λ = 0.81329744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43855008367226))-π/2
    2×atan(11.4564178475088)-π/2
    2×1.48372968270897-π/2
    2.96745936541794-1.57079632675     		φ = 1.39666304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81329744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.598511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39666304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.022898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41251 KachelY 7333 0.81329744 1.39666304 46.598511 80.022898
    Oben rechts KachelX + 1 41252 KachelY 7333 0.81339331 1.39666304 46.604004 80.022898
    Unten links KachelX 41251 KachelY + 1 7334 0.81329744 1.39664643 46.598511 80.021946
    Unten rechts KachelX + 1 41252 KachelY + 1 7334 0.81339331 1.39664643 46.604004 80.021946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39666304-1.39664643) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39666304-1.39664643) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81329744-0.81339331) × cos(1.39666304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173254596811468 × 6371000     		do = 105.821788828724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81329744-0.81339331) × cos(1.39664643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173270955595715 × 6371000     		du = 105.831780574073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39666304)-sin(1.39664643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173254596811468-0.173270955595715)×R²
    abs(0.81339331-0.81329744)×1.63587842461344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63587842461344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63587842461344e-05×40589641000000     		ar = 11198.8348170482m²