Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41250 / 7918
↖ ↑ ↗
← N 79.450489°
E 46.593018°		 ← 111.83 m → N 79.450489°
E 46.598511°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
N 79.449483°
E 46.593018°		 ← 111.84 m →
12 511 m²		 N 79.449483°
E 46.598511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629432678222656 y=0.120826721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629432678222656 × 216)
    floor (0.629432678222656 × 65536)
    floor (41250.5)     		tx = 41250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120826721191406 × 216)
    floor (0.120826721191406 × 65536)
    floor (7918.5)     		ty = 7918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41250 / 7918 ti = "16/41250/7918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41250/7918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41250 ÷ 216
    41250 ÷ 65536     		x = 0.629425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7918 ÷ 216
    7918 ÷ 65536     		y = 0.120819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629425048828125 × 2 - 1) × π
    0.25885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81320157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120819091796875 × 2 - 1) × π
    0.75836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38246391111679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81320157} λ = 0.81320157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38246391111679))-π/2
    2×atan(10.8315580086823)-π/2
    2×1.47873447627126-π/2
    2.95746895254252-1.57079632675     		φ = 1.38667263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81320157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.593018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38667263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.450489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41250 KachelY 7918 0.81320157 1.38667263 46.593018 79.450489
    Oben rechts KachelX + 1 41251 KachelY 7918 0.81329744 1.38667263 46.598511 79.450489
    Unten links KachelX 41250 KachelY + 1 7919 0.81320157 1.38665507 46.593018 79.449483
    Unten rechts KachelX + 1 41251 KachelY + 1 7919 0.81329744 1.38665507 46.598511 79.449483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38667263-1.38665507) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38667263-1.38665507) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81320157-0.81329744) × cos(1.38667263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183085112824502 × 6371000     		do = 111.826147782274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81320157-0.81329744) × cos(1.38665507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183102375980755 × 6371000     		du = 111.836691906985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38667263)-sin(1.38665507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183085112824502-0.183102375980755)×R²
    abs(0.81329744-0.81320157)×1.72631562531944e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72631562531944e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72631562531944e-05×40589641000000     		ar = 12511.1132557577m²