Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41250 / 7325
↖ ↑ ↗
← N 80.030508°
E 46.593018°		 ← 105.74 m → N 80.030508°
E 46.598511°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
N 80.029557°
E 46.593018°		 ← 105.75 m →
11 184 m²		 N 80.029557°
E 46.598511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629432678222656 y=0.111778259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629432678222656 × 216)
    floor (0.629432678222656 × 65536)
    floor (41250.5)     		tx = 41250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111778259277344 × 216)
    floor (0.111778259277344 × 65536)
    floor (7325.5)     		ty = 7325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41250 / 7325 ti = "16/41250/7325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41250/7325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41250 ÷ 216
    41250 ÷ 65536     		x = 0.629425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7325 ÷ 216
    7325 ÷ 65536     		y = 0.111770629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629425048828125 × 2 - 1) × π
    0.25885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81320157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111770629882812 × 2 - 1) × π
    0.776458740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43931707406618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81320157} λ = 0.81320157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43931707406618))-π/2
    2×atan(11.4652081805661)-π/2
    2×1.48379609992637-π/2
    2.96759219985275-1.57079632675     		φ = 1.39679587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81320157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.593018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39679587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.030508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41250 KachelY 7325 0.81320157 1.39679587 46.593018 80.030508
    Oben rechts KachelX + 1 41251 KachelY 7325 0.81329744 1.39679587 46.598511 80.030508
    Unten links KachelX 41250 KachelY + 1 7326 0.81320157 1.39677927 46.593018 80.029557
    Unten rechts KachelX + 1 41251 KachelY + 1 7326 0.81329744 1.39677927 46.598511 80.029557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39679587-1.39677927) × R
    1.66000000001443e-05 × 6371000     		dl = 105.758600000919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39679587-1.39677927) × R
    1.66000000001443e-05 × 6371000     		dr = 105.758600000919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81320157-0.81329744) × cos(1.39679587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173123774062097 × 6371000     		do = 105.74188389337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81320157-0.81329744) × cos(1.39677927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173140123379498 × 6371000     		du = 105.751869856486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39679587)-sin(1.39677927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173123774062097-0.173140123379498)×R²
    abs(0.81329744-0.81320157)×1.63493174008267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63493174008267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63493174008267e-05×40589641000000     		ar = 11183.6416528673m²