Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41249 / 7917
↖ ↑ ↗
← N 79.451495°
E 46.587524°		 ← 111.83 m → N 79.451495°
E 46.593018°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
N 79.450489°
E 46.587524°		 ← 111.84 m →
12 504 m²		 N 79.450489°
E 46.593018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629417419433594 y=0.120811462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629417419433594 × 216)
    floor (0.629417419433594 × 65536)
    floor (41249.5)     		tx = 41249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120811462402344 × 216)
    floor (0.120811462402344 × 65536)
    floor (7917.5)     		ty = 7917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41249 / 7917 ti = "16/41249/7917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41249/7917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41249 ÷ 216
    41249 ÷ 65536     		x = 0.629409790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7917 ÷ 216
    7917 ÷ 65536     		y = 0.120803833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629409790039062 × 2 - 1) × π
    0.258819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81310569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120803833007812 × 2 - 1) × π
    0.758392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38255978491603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81310569} λ = 0.81310569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38255978491603))-π/2
    2×atan(10.8325965210826)-π/2
    2×1.47874325239054-π/2
    2.95748650478108-1.57079632675     		φ = 1.38669018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81310569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.587524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38669018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.451495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41249 KachelY 7917 0.81310569 1.38669018 46.587524 79.451495
    Oben rechts KachelX + 1 41250 KachelY 7917 0.81320157 1.38669018 46.593018 79.451495
    Unten links KachelX 41249 KachelY + 1 7918 0.81310569 1.38667263 46.587524 79.450489
    Unten rechts KachelX + 1 41250 KachelY + 1 7918 0.81320157 1.38667263 46.593018 79.450489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38669018-1.38667263) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38669018-1.38667263) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81310569-0.81320157) × cos(1.38669018) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183067859442797 × 6371000     		do = 111.827272881121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81310569-0.81320157) × cos(1.38667263) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183085112824502 × 6371000     		du = 111.83781213487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38669018)-sin(1.38667263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183067859442797-0.183085112824502)×R²
    abs(0.81320157-0.81310569)×1.72533817052178e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.72533817052178e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.72533817052178e-05×40589641000000     		ar = 12504.1140023834m²