Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41249 / 7327
↖ ↑ ↗
← N 80.028606°
E 46.587524°		 ← 105.77 m → N 80.028606°
E 46.593018°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
N 80.027655°
E 46.587524°		 ← 105.78 m →
11 187 m²		 N 80.027655°
E 46.593018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629417419433594 y=0.111808776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629417419433594 × 216)
    floor (0.629417419433594 × 65536)
    floor (41249.5)     		tx = 41249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111808776855469 × 216)
    floor (0.111808776855469 × 65536)
    floor (7327.5)     		ty = 7327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41249 / 7327 ti = "16/41249/7327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41249/7327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41249 ÷ 216
    41249 ÷ 65536     		x = 0.629409790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7327 ÷ 216
    7327 ÷ 65536     		y = 0.111801147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629409790039062 × 2 - 1) × π
    0.258819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81310569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111801147460938 × 2 - 1) × π
    0.776397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4391253264677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81310569} λ = 0.81310569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4391253264677))-π/2
    2×atan(11.4630099651894)-π/2
    2×1.48377950032532-π/2
    2.96755900065064-1.57079632675     		φ = 1.39676267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81310569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.587524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39676267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.028606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41249 KachelY 7327 0.81310569 1.39676267 46.587524 80.028606
    Oben rechts KachelX + 1 41250 KachelY 7327 0.81320157 1.39676267 46.593018 80.028606
    Unten links KachelX 41249 KachelY + 1 7328 0.81310569 1.39674607 46.587524 80.027655
    Unten rechts KachelX + 1 41250 KachelY + 1 7328 0.81320157 1.39674607 46.593018 80.027655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39676267-1.39674607) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dl = 105.758599999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39676267-1.39674607) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dr = 105.758599999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81310569-0.81320157) × cos(1.39676267) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173156472649188 × 6371000     		do = 105.772887589389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81310569-0.81320157) × cos(1.39674607) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173172821871163 × 6371000     		du = 105.782874535829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39676267)-sin(1.39674607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173156472649188-0.173172821871163)×R²
    abs(0.81320157-0.81310569)×1.63492219751316e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.63492219751316e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.63492219751316e-05×40589641000000     		ar = 11186.9206121312m²