Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41248 / 9567
↖ ↑ ↗
← N 77.656521°
E 46.582031°		 ← 130.57 m → N 77.656521°
E 46.587524°		 →
↑
130.61 m
↓
↑
130.61 m
↓
N 77.655346°
E 46.582031°		 ← 130.58 m →
17 054 m²		 N 77.655346°
E 46.587524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629402160644531 y=0.145988464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629402160644531 × 216)
    floor (0.629402160644531 × 65536)
    floor (41248.5)     		tx = 41248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145988464355469 × 216)
    floor (0.145988464355469 × 65536)
    floor (9567.5)     		ty = 9567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41248 / 9567 ti = "16/41248/9567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41248/9567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41248 ÷ 216
    41248 ÷ 65536     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9567 ÷ 216
    9567 ÷ 65536     		y = 0.145980834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145980834960938 × 2 - 1) × π
    0.708038330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22436801616985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22436801616985))-π/2
    2×atan(9.24763659994998)-π/2
    2×1.46307914624852-π/2
    2.92615829249705-1.57079632675     		φ = 1.35536197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35536197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.656521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41248 KachelY 9567 0.81300982 1.35536197 46.582031 77.656521
    Oben rechts KachelX + 1 41249 KachelY 9567 0.81310569 1.35536197 46.587524 77.656521
    Unten links KachelX 41248 KachelY + 1 9568 0.81300982 1.35534147 46.582031 77.655346
    Unten rechts KachelX + 1 41249 KachelY + 1 9568 0.81310569 1.35534147 46.587524 77.655346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35536197-1.35534147) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dl = 130.605499999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35536197-1.35534147) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dr = 130.605499999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81310569) × cos(1.35536197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213771764497032 × 6371000     		do = 130.569179326105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81310569) × cos(1.35534147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213791790566591 × 6371000     		du = 130.581411004472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35536197)-sin(1.35534147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213771764497032-0.213791790566591)×R²
    abs(0.81310569-0.81300982)×2.00260695592258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00260695592258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00260695592258e-05×40589641000000     		ar = 17053.8517132002m²