Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41247 / 7345
↖ ↑ ↗
← N 80.011471°
E 46.576538°		 ← 105.95 m → N 80.011471°
E 46.582031°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
N 80.010518°
E 46.576538°		 ← 105.96 m →
11 226 m²		 N 80.010518°
E 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629386901855469 y=0.112083435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629386901855469 × 216)
    floor (0.629386901855469 × 65536)
    floor (41247.5)     		tx = 41247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112083435058594 × 216)
    floor (0.112083435058594 × 65536)
    floor (7345.5)     		ty = 7345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41247 / 7345 ti = "16/41247/7345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41247/7345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41247 ÷ 216
    41247 ÷ 65536     		x = 0.629379272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7345 ÷ 216
    7345 ÷ 65536     		y = 0.112075805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629379272460938 × 2 - 1) × π
    0.258758544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81291394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112075805664062 × 2 - 1) × π
    0.775848388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43739959808138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81291394} λ = 0.81291394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43739959808138))-π/2
    2×atan(11.4432449829005)-π/2
    2×1.48362996276525-π/2
    2.9672599255305-1.57079632675     		φ = 1.39646360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81291394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.576538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39646360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.011471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41247 KachelY 7345 0.81291394 1.39646360 46.576538 80.011471
    Oben rechts KachelX + 1 41248 KachelY 7345 0.81300982 1.39646360 46.582031 80.011471
    Unten links KachelX 41247 KachelY + 1 7346 0.81291394 1.39644697 46.576538 80.010518
    Unten rechts KachelX + 1 41248 KachelY + 1 7346 0.81300982 1.39644697 46.582031 80.010518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39646360-1.39644697) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39646360-1.39644697) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81291394-0.81300982) × cos(1.39646360) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173451017247462 × 6371000     		do = 105.952810593171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81291394-0.81300982) × cos(1.39644697) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173467395154208 × 6371000     		du = 105.962815061746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39646360)-sin(1.39644697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173451017247462-0.173467395154208)×R²
    abs(0.81300982-0.81291394)×1.63779067458569e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.63779067458569e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.63779067458569e-05×40589641000000     		ar = 11226.2016609788m²