Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41246 / 9622
↖ ↑ ↗
← N 77.591768°
E 46.571045°		 ← 131.24 m → N 77.591768°
E 46.576538°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
N 77.590587°
E 46.571045°		 ← 131.26 m →
17 234 m²		 N 77.590587°
E 46.576538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629371643066406 y=0.146827697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629371643066406 × 216)
    floor (0.629371643066406 × 65536)
    floor (41246.5)     		tx = 41246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146827697753906 × 216)
    floor (0.146827697753906 × 65536)
    floor (9622.5)     		ty = 9622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41246 / 9622 ti = "16/41246/9622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41246/9622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41246 ÷ 216
    41246 ÷ 65536     		x = 0.629364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9622 ÷ 216
    9622 ÷ 65536     		y = 0.146820068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146820068359375 × 2 - 1) × π
    0.70635986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21909495721164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81281807} λ = 0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21909495721164))-π/2
    2×atan(9.19900160721832)-π/2
    2×1.46251407666454-π/2
    2.92502815332907-1.57079632675     		φ = 1.35423183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35423183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.591768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41246 KachelY 9622 0.81281807 1.35423183 46.571045 77.591768
    Oben rechts KachelX + 1 41247 KachelY 9622 0.81291394 1.35423183 46.576538 77.591768
    Unten links KachelX 41246 KachelY + 1 9623 0.81281807 1.35421122 46.571045 77.590587
    Unten rechts KachelX + 1 41247 KachelY + 1 9623 0.81291394 1.35421122 46.576538 77.590587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35423183-1.35421122) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dl = 131.30630999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35423183-1.35421122) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dr = 131.30630999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81281807-0.81291394) × cos(1.35423183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214875643014793 × 6371000     		do = 131.243414824318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81281807-0.81291394) × cos(1.35421122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214895771548766 × 6371000     		du = 131.255709086697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35423183)-sin(1.35421122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214875643014793-0.214895771548766)×R²
    abs(0.81291394-0.81281807)×2.01285339730684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01285339730684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01285339730684e-05×40589641000000     		ar = 17233.8956699377m²