Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41246 / 7907
↖ ↑ ↗
← N 79.461546°
E 46.571045°		 ← 111.71 m → N 79.461546°
E 46.576538°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
N 79.460541°
E 46.571045°		 ← 111.72 m →
12 484 m²		 N 79.460541°
E 46.576538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629371643066406 y=0.120658874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629371643066406 × 216)
    floor (0.629371643066406 × 65536)
    floor (41246.5)     		tx = 41246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120658874511719 × 216)
    floor (0.120658874511719 × 65536)
    floor (7907.5)     		ty = 7907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41246 / 7907 ti = "16/41246/7907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41246/7907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41246 ÷ 216
    41246 ÷ 65536     		x = 0.629364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7907 ÷ 216
    7907 ÷ 65536     		y = 0.120651245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120651245117188 × 2 - 1) × π
    0.758697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38351852290843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81281807} λ = 0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38351852290843))-π/2
    2×atan(10.8429871230602)-π/2
    2×1.47883096810297-π/2
    2.95766193620595-1.57079632675     		φ = 1.38686561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38686561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.461546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41246 KachelY 7907 0.81281807 1.38686561 46.571045 79.461546
    Oben rechts KachelX + 1 41247 KachelY 7907 0.81291394 1.38686561 46.576538 79.461546
    Unten links KachelX 41246 KachelY + 1 7908 0.81281807 1.38684807 46.571045 79.460541
    Unten rechts KachelX + 1 41247 KachelY + 1 7908 0.81291394 1.38684807 46.576538 79.460541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38686561-1.38684807) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38686561-1.38684807) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81281807-0.81291394) × cos(1.38686561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182895391344693 × 6371000     		do = 111.7102682227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81281807-0.81291394) × cos(1.38684807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182912635458496 × 6371000     		du = 111.720800716515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38686561)-sin(1.38684807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182895391344693-0.182912635458496)×R²
    abs(0.81291394-0.81281807)×1.72441138032997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72441138032997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72441138032997e-05×40589641000000     		ar = 12483.9138137746m²