Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41245 / 9499
↖ ↑ ↗
← N 77.736118°
E 46.565552°		 ← 129.74 m → N 77.736118°
E 46.571045°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
N 77.734951°
E 46.565552°		 ← 129.75 m →
16 830 m²		 N 77.734951°
E 46.571045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629356384277344 y=0.144950866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629356384277344 × 216)
    floor (0.629356384277344 × 65536)
    floor (41245.5)     		tx = 41245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144950866699219 × 216)
    floor (0.144950866699219 × 65536)
    floor (9499.5)     		ty = 9499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41245 / 9499 ti = "16/41245/9499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41245/9499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41245 ÷ 216
    41245 ÷ 65536     		x = 0.629348754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9499 ÷ 216
    9499 ÷ 65536     		y = 0.144943237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629348754882812 × 2 - 1) × π
    0.258697509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81272220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144943237304688 × 2 - 1) × π
    0.710113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23088743451817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81272220} λ = 0.81272220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23088743451817))-π/2
    2×atan(9.30812276474879)-π/2
    2×1.46377376555624-π/2
    2.92754753111248-1.57079632675     		φ = 1.35675120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81272220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.565552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35675120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.736118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41245 KachelY 9499 0.81272220 1.35675120 46.565552 77.736118
    Oben rechts KachelX + 1 41246 KachelY 9499 0.81281807 1.35675120 46.571045 77.736118
    Unten links KachelX 41245 KachelY + 1 9500 0.81272220 1.35673084 46.565552 77.734951
    Unten rechts KachelX + 1 41246 KachelY + 1 9500 0.81281807 1.35673084 46.571045 77.734951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35675120-1.35673084) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35675120-1.35673084) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81272220-0.81281807) × cos(1.35675120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212414442598447 × 6371000     		do = 129.740143710495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81272220-0.81281807) × cos(1.35673084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21243433793247 × 6371000     		du = 129.752295537197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35675120)-sin(1.35673084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212414442598447-0.21243433793247)×R²
    abs(0.81281807-0.81272220)×1.98953340236618e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98953340236618e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98953340236618e-05×40589641000000     		ar = 16829.8440447093m²