Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41244 / 9498
↖ ↑ ↗
← N 77.737285°
E 46.560058°		 ← 129.74 m → N 77.737285°
E 46.565552°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 77.736118°
E 46.560058°		 ← 129.75 m →
16 838 m²		 N 77.736118°
E 46.565552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629341125488281 y=0.144935607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629341125488281 × 216)
    floor (0.629341125488281 × 65536)
    floor (41244.5)     		tx = 41244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144935607910156 × 216)
    floor (0.144935607910156 × 65536)
    floor (9498.5)     		ty = 9498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41244 / 9498 ti = "16/41244/9498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41244/9498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41244 ÷ 216
    41244 ÷ 65536     		x = 0.62933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9498 ÷ 216
    9498 ÷ 65536     		y = 0.144927978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62933349609375 × 2 - 1) × π
    0.2586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81262632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144927978515625 × 2 - 1) × π
    0.71014404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23098330831741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81262632} λ = 0.81262632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23098330831741))-π/2
    2×atan(9.30901521262254)-π/2
    2×1.46378394756889-π/2
    2.92756789513777-1.57079632675     		φ = 1.35677157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81262632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.560058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35677157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.737285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41244 KachelY 9498 0.81262632 1.35677157 46.560058 77.737285
    Oben rechts KachelX + 1 41245 KachelY 9498 0.81272220 1.35677157 46.565552 77.737285
    Unten links KachelX 41244 KachelY + 1 9499 0.81262632 1.35675120 46.560058 77.736118
    Unten rechts KachelX + 1 41245 KachelY + 1 9499 0.81272220 1.35675120 46.565552 77.736118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35677157-1.35675120) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dl = 129.777270000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35677157-1.35675120) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dr = 129.777270000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81262632-0.81272220) × cos(1.35677157) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.212394537404531 × 6371000     		do = 129.741517517388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81262632-0.81272220) × cos(1.35675120) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.212414442598447 × 6371000     		du = 129.753676634551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35677157)-sin(1.35675120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212394537404531-0.212414442598447)×R²
    abs(0.81272220-0.81262632)×1.99051939158423e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.99051939158423e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.99051939158423e-05×40589641000000     		ar = 16838.2889381852m²