Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41244 / 7948
↖ ↑ ↗
← N 79.420275°
E 46.560058°		 ← 112.15 m → N 79.420275°
E 46.565552°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
N 79.419267°
E 46.560058°		 ← 112.17 m →
12 576 m²		 N 79.419267°
E 46.565552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629341125488281 y=0.121284484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629341125488281 × 216)
    floor (0.629341125488281 × 65536)
    floor (41244.5)     		tx = 41244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121284484863281 × 216)
    floor (0.121284484863281 × 65536)
    floor (7948.5)     		ty = 7948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41244 / 7948 ti = "16/41244/7948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41244/7948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41244 ÷ 216
    41244 ÷ 65536     		x = 0.62933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7948 ÷ 216
    7948 ÷ 65536     		y = 0.12127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62933349609375 × 2 - 1) × π
    0.2586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81262632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12127685546875 × 2 - 1) × π
    0.7574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37958769713959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81262632} λ = 0.81262632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37958769713959))-π/2
    2×atan(10.8004488898302)-π/2
    2×1.47847080769856-π/2
    2.95694161539712-1.57079632675     		φ = 1.38614529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81262632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.560058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38614529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.420275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41244 KachelY 7948 0.81262632 1.38614529 46.560058 79.420275
    Oben rechts KachelX + 1 41245 KachelY 7948 0.81272220 1.38614529 46.565552 79.420275
    Unten links KachelX 41244 KachelY + 1 7949 0.81262632 1.38612769 46.560058 79.419267
    Unten rechts KachelX + 1 41245 KachelY + 1 7949 0.81272220 1.38612769 46.565552 79.419267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38614529-1.38612769) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38614529-1.38612769) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81262632-0.81272220) × cos(1.38614529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183603513750497 × 6371000     		do = 112.154478107618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81262632-0.81272220) × cos(1.38612769) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183620814528771 × 6371000     		du = 112.165046313632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38614529)-sin(1.38612769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183603513750497-0.183620814528771)×R²
    abs(0.81272220-0.81262632)×1.73007782744428e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.73007782744428e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.73007782744428e-05×40589641000000     		ar = 12576.4292732918m²