Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41243 / 9497
↖ ↑ ↗
← N 77.738451°
E 46.554566°		 ← 129.72 m → N 77.738451°
E 46.560058°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
N 77.737285°
E 46.554566°		 ← 129.73 m →
16 827 m²		 N 77.737285°
E 46.560058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629325866699219 y=0.144920349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629325866699219 × 216)
    floor (0.629325866699219 × 65536)
    floor (41243.5)     		tx = 41243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144920349121094 × 216)
    floor (0.144920349121094 × 65536)
    floor (9497.5)     		ty = 9497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41243 / 9497 ti = "16/41243/9497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41243/9497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41243 ÷ 216
    41243 ÷ 65536     		x = 0.629318237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9497 ÷ 216
    9497 ÷ 65536     		y = 0.144912719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629318237304688 × 2 - 1) × π
    0.258636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81253045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144912719726562 × 2 - 1) × π
    0.710174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23107918211665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81253045} λ = 0.81253045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23107918211665))-π/2
    2×atan(9.30990774606276)-π/2
    2×1.46379412862766-π/2
    2.92758825725532-1.57079632675     		φ = 1.35679193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81253045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.554566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35679193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.738451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41243 KachelY 9497 0.81253045 1.35679193 46.554566 77.738451
    Oben rechts KachelX + 1 41244 KachelY 9497 0.81262632 1.35679193 46.560058 77.738451
    Unten links KachelX 41243 KachelY + 1 9498 0.81253045 1.35677157 46.554566 77.737285
    Unten rechts KachelX + 1 41244 KachelY + 1 9498 0.81262632 1.35677157 46.560058 77.737285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35679193-1.35677157) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35679193-1.35677157) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81253045-0.81262632) × cos(1.35679193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212374641894368 × 6371000     		do = 129.715833927207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81253045-0.81262632) × cos(1.35677157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212394537404531 × 6371000     		du = 129.727985861492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35679193)-sin(1.35677157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212374641894368-0.212394537404531)×R²
    abs(0.81262632-0.81253045)×1.98955101628207e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98955101628207e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98955101628207e-05×40589641000000     		ar = 16826.6907430351m²