Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41240 / 7926
↖ ↑ ↗
← N 79.442440°
E 46.538086°		 ← 111.91 m → N 79.442440°
E 46.543579°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
N 79.441434°
E 46.538086°		 ← 111.92 m →
12 528 m²		 N 79.441434°
E 46.543579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629280090332031 y=0.120948791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629280090332031 × 216)
    floor (0.629280090332031 × 65536)
    floor (41240.5)     		tx = 41240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120948791503906 × 216)
    floor (0.120948791503906 × 65536)
    floor (7926.5)     		ty = 7926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41240 / 7926 ti = "16/41240/7926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41240/7926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41240 ÷ 216
    41240 ÷ 65536     		x = 0.6292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7926 ÷ 216
    7926 ÷ 65536     		y = 0.120941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    0.258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81224283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120941162109375 × 2 - 1) × π
    0.75811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38169692072287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81224283} λ = 0.81224283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38169692072287))-π/2
    2×atan(10.8232534928875)-π/2
    2×1.4786642375309-π/2
    2.95732847506179-1.57079632675     		φ = 1.38653215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81224283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38653215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.442440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41240 KachelY 7926 0.81224283 1.38653215 46.538086 79.442440
    Oben rechts KachelX + 1 41241 KachelY 7926 0.81233870 1.38653215 46.543579 79.442440
    Unten links KachelX 41240 KachelY + 1 7927 0.81224283 1.38651458 46.538086 79.441434
    Unten rechts KachelX + 1 41241 KachelY + 1 7927 0.81233870 1.38651458 46.543579 79.441434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38653215-1.38651458) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38653215-1.38651458) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81224283-0.81233870) × cos(1.38653215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183223216493341 × 6371000     		do = 111.910499814193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81224283-0.81233870) × cos(1.38651458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183240489028444 × 6371000     		du = 111.921049667391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38653215)-sin(1.38651458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183223216493341-0.183240489028444)×R²
    abs(0.81233870-0.81224283)×1.72725351030856e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72725351030856e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72725351030856e-05×40589641000000     		ar = 12527.6805937347m²