Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41240 / 7354
↖ ↑ ↗
← N 80.002892°
E 46.538086°		 ← 106.03 m → N 80.002892°
E 46.543579°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
N 80.001938°
E 46.538086°		 ← 106.04 m →
11 241 m²		 N 80.001938°
E 46.543579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629280090332031 y=0.112220764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629280090332031 × 216)
    floor (0.629280090332031 × 65536)
    floor (41240.5)     		tx = 41240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112220764160156 × 216)
    floor (0.112220764160156 × 65536)
    floor (7354.5)     		ty = 7354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41240 / 7354 ti = "16/41240/7354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41240/7354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41240 ÷ 216
    41240 ÷ 65536     		x = 0.6292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7354 ÷ 216
    7354 ÷ 65536     		y = 0.112213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    0.258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81224283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112213134765625 × 2 - 1) × π
    0.77557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43653673388821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81224283} λ = 0.81224283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43653673388821))-π/2
    2×atan(11.4333752752722)-π/2
    2×1.48355509862425-π/2
    2.96711019724849-1.57079632675     		φ = 1.39631387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81224283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39631387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.002892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41240 KachelY 7354 0.81224283 1.39631387 46.538086 80.002892
    Oben rechts KachelX + 1 41241 KachelY 7354 0.81233870 1.39631387 46.543579 80.002892
    Unten links KachelX 41240 KachelY + 1 7355 0.81224283 1.39629723 46.538086 80.001938
    Unten rechts KachelX + 1 41241 KachelY + 1 7355 0.81233870 1.39629723 46.543579 80.001938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39631387-1.39629723) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dl = 106.01343999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39631387-1.39629723) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dr = 106.01343999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81224283-0.81233870) × cos(1.39631387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173598475769736 × 6371000     		do = 106.031825890794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81224283-0.81233870) × cos(1.39629723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173614863092519 × 6371000     		du = 106.041835067133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39631387)-sin(1.39629723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173598475769736-0.173614863092519)×R²
    abs(0.81233870-0.81224283)×1.63873227833344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63873227833344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63873227833344e-05×40589641000000     		ar = 11241.329165797m²