Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41238 / 7257
↖ ↑ ↗
← N 80.094969°
E 46.527100°		 ← 105.07 m → N 80.094969°
E 46.532593°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
N 80.094024°
E 46.527100°		 ← 105.07 m →
11 038 m²		 N 80.094024°
E 46.532593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629249572753906 y=0.110740661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629249572753906 × 216)
    floor (0.629249572753906 × 65536)
    floor (41238.5)     		tx = 41238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110740661621094 × 216)
    floor (0.110740661621094 × 65536)
    floor (7257.5)     		ty = 7257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41238 / 7257 ti = "16/41238/7257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41238/7257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41238 ÷ 216
    41238 ÷ 65536     		x = 0.629241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7257 ÷ 216
    7257 ÷ 65536     		y = 0.110733032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629241943359375 × 2 - 1) × π
    0.25848388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81205108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110733032226562 × 2 - 1) × π
    0.778533935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44583649241451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81205108} λ = 0.81205108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44583649241451))-π/2
    2×atan(11.540198851314)-π/2
    2×1.48435862503918-π/2
    2.96871725007836-1.57079632675     		φ = 1.39792092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81205108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.527100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39792092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.094969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41238 KachelY 7257 0.81205108 1.39792092 46.527100 80.094969
    Oben rechts KachelX + 1 41239 KachelY 7257 0.81214695 1.39792092 46.532593 80.094969
    Unten links KachelX 41238 KachelY + 1 7258 0.81205108 1.39790443 46.527100 80.094024
    Unten rechts KachelX + 1 41239 KachelY + 1 7258 0.81214695 1.39790443 46.532593 80.094024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39792092-1.39790443) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39792092-1.39790443) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81205108-0.81214695) × cos(1.39792092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172015602901216 × 6371000     		do = 105.065026501237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81205108-0.81214695) × cos(1.39790443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1720318470816 × 6371000     		du = 105.074948247949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39792092)-sin(1.39790443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172015602901216-0.1720318470816)×R²
    abs(0.81214695-0.81205108)×1.62441803841229e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62441803841229e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62441803841229e-05×40589641000000     		ar = 11038.4206690146m²