Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41238 / 10040
↖ ↑ ↗
← N 77.088607°
E 46.527100°		 ← 136.48 m → N 77.088607°
E 46.532593°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
N 77.087379°
E 46.527100°		 ← 136.49 m →
18 634 m²		 N 77.087379°
E 46.532593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629249572753906 y=0.153205871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629249572753906 × 216)
    floor (0.629249572753906 × 65536)
    floor (41238.5)     		tx = 41238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153205871582031 × 216)
    floor (0.153205871582031 × 65536)
    floor (10040.5)     		ty = 10040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41238 / 10040 ti = "16/41238/10040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41238/10040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41238 ÷ 216
    41238 ÷ 65536     		x = 0.629241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10040 ÷ 216
    10040 ÷ 65536     		y = 0.1531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629241943359375 × 2 - 1) × π
    0.25848388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81205108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1531982421875 × 2 - 1) × π
    0.693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17901970912927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81205108} λ = 0.81205108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17901970912927))-π/2
    2×atan(8.83763855458553)-π/2
    2×1.45812316631807-π/2
    2.91624633263615-1.57079632675     		φ = 1.34545001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81205108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.527100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34545001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.088607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41238 KachelY 10040 0.81205108 1.34545001 46.527100 77.088607
    Oben rechts KachelX + 1 41239 KachelY 10040 0.81214695 1.34545001 46.532593 77.088607
    Unten links KachelX 41238 KachelY + 1 10041 0.81205108 1.34542858 46.527100 77.087379
    Unten rechts KachelX + 1 41239 KachelY + 1 10041 0.81214695 1.34542858 46.532593 77.087379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34545001-1.34542858) × R
    2.14299999998779e-05 × 6371000     		dl = 136.530529999222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34545001-1.34542858) × R
    2.14299999998779e-05 × 6371000     		dr = 136.530529999222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81205108-0.81214695) × cos(1.34545001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223443936316675 × 6371000     		do = 136.476823582881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81205108-0.81214695) × cos(1.34542858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223464824446028 × 6371000     		du = 136.489581796828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34545001)-sin(1.34542858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223443936316675-0.223464824446028)×R²
    abs(0.81214695-0.81205108)×2.08881293531082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08881293531082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08881293531082e-05×40589641000000     		ar = 18634.124000009m²