Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41236 / 7356
↖ ↑ ↗
← N 80.000984°
E 46.516113°		 ← 106.06 m → N 80.000984°
E 46.521607°		 →
↑
106.08 m
↓
↑
106.08 m
↓
N 80.000030°
E 46.516113°		 ← 106.07 m →
11 251 m²		 N 80.000030°
E 46.521607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629219055175781 y=0.112251281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629219055175781 × 216)
    floor (0.629219055175781 × 65536)
    floor (41236.5)     		tx = 41236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112251281738281 × 216)
    floor (0.112251281738281 × 65536)
    floor (7356.5)     		ty = 7356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41236 / 7356 ti = "16/41236/7356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41236/7356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41236 ÷ 216
    41236 ÷ 65536     		x = 0.62921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7356 ÷ 216
    7356 ÷ 65536     		y = 0.11224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62921142578125 × 2 - 1) × π
    0.2584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81185933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11224365234375 × 2 - 1) × π
    0.7755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43634498628973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81185933} λ = 0.81185933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43634498628973))-π/2
    2×atan(11.4311831631935)-π/2
    2×1.48353845350733-π/2
    2.96707690701465-1.57079632675     		φ = 1.39628058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81185933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39628058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.000984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41236 KachelY 7356 0.81185933 1.39628058 46.516113 80.000984
    Oben rechts KachelX + 1 41237 KachelY 7356 0.81195521 1.39628058 46.521607 80.000984
    Unten links KachelX 41236 KachelY + 1 7357 0.81185933 1.39626393 46.516113 80.000030
    Unten rechts KachelX + 1 41237 KachelY + 1 7357 0.81195521 1.39626393 46.521607 80.000030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39628058-1.39626393) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dl = 106.077150000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39628058-1.39626393) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dr = 106.077150000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81185933-0.81195521) × cos(1.39628058) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173631260215338 × 6371000     		do = 106.062912276858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81185933-0.81195521) × cos(1.39626393) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173647657290022 × 6371000     		du = 106.072928454196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39628058)-sin(1.39626393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173631260215338-0.173647657290022)×R²
    abs(0.81195521-0.81185933)×1.63970746842323e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.63970746842323e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.63970746842323e-05×40589641000000     		ar = 11251.3826993256m²