Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41235 / 9469
↖ ↑ ↗
← N 77.771074°
E 46.510620°		 ← 129.38 m → N 77.771074°
E 46.516113°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
N 77.769910°
E 46.510620°		 ← 129.39 m →
16 741 m²		 N 77.769910°
E 46.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629203796386719 y=0.144493103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629203796386719 × 216)
    floor (0.629203796386719 × 65536)
    floor (41235.5)     		tx = 41235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144493103027344 × 216)
    floor (0.144493103027344 × 65536)
    floor (9469.5)     		ty = 9469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41235 / 9469 ti = "16/41235/9469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41235/9469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41235 ÷ 216
    41235 ÷ 65536     		x = 0.629196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9469 ÷ 216
    9469 ÷ 65536     		y = 0.144485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629196166992188 × 2 - 1) × π
    0.258392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81176346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144485473632812 × 2 - 1) × π
    0.711029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23376364849538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81176346} λ = 0.81176346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23376364849538))-π/2
    2×atan(9.33493345570546)-π/2
    2×1.46407881134732-π/2
    2.92815762269463-1.57079632675     		φ = 1.35736130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81176346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.510620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35736130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.771074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41235 KachelY 9469 0.81176346 1.35736130 46.510620 77.771074
    Oben rechts KachelX + 1 41236 KachelY 9469 0.81185933 1.35736130 46.516113 77.771074
    Unten links KachelX 41235 KachelY + 1 9470 0.81176346 1.35734099 46.510620 77.769910
    Unten rechts KachelX + 1 41236 KachelY + 1 9470 0.81185933 1.35734099 46.516113 77.769910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35736130-1.35734099) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35736130-1.35734099) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81176346-0.81185933) × cos(1.35736130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211818225787001 × 6371000     		do = 129.375981773796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81176346-0.81185933) × cos(1.35734099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211838074890742 × 6371000     		du = 129.388105363606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35736130)-sin(1.35734099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211818225787001-0.211838074890742)×R²
    abs(0.81185933-0.81176346)×1.98491037406434e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98491037406434e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98491037406434e-05×40589641000000     		ar = 16741.3908217178m²