Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41234 / 9485
↖ ↑ ↗
← N 77.752443°
E 46.505127°		 ← 129.58 m → N 77.752443°
E 46.510620°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
N 77.751278°
E 46.505127°		 ← 129.60 m →
16 793 m²		 N 77.751278°
E 46.510620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629188537597656 y=0.144737243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629188537597656 × 216)
    floor (0.629188537597656 × 65536)
    floor (41234.5)     		tx = 41234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144737243652344 × 216)
    floor (0.144737243652344 × 65536)
    floor (9485.5)     		ty = 9485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41234 / 9485 ti = "16/41234/9485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41234/9485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41234 ÷ 216
    41234 ÷ 65536     		x = 0.629180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9485 ÷ 216
    9485 ÷ 65536     		y = 0.144729614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629180908203125 × 2 - 1) × π
    0.25836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81166758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144729614257812 × 2 - 1) × π
    0.710540771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23222966770753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81166758} λ = 0.81166758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23222966770753))-π/2
    2×atan(9.3206248245171)-π/2
    2×1.46391622696203-π/2
    2.92783245392406-1.57079632675     		φ = 1.35703613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81166758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.505127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35703613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.752443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41234 KachelY 9485 0.81166758 1.35703613 46.505127 77.752443
    Oben rechts KachelX + 1 41235 KachelY 9485 0.81176346 1.35703613 46.510620 77.752443
    Unten links KachelX 41234 KachelY + 1 9486 0.81166758 1.35701579 46.505127 77.751278
    Unten rechts KachelX + 1 41235 KachelY + 1 9486 0.81176346 1.35701579 46.510620 77.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35703613-1.35701579) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35703613-1.35701579) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81166758-0.81176346) × cos(1.35703613) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.212136006176817 × 6371000     		do = 129.583593334313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81166758-0.81176346) × cos(1.35701579) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.212155883197628 × 6371000     		du = 129.595735241893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35703613)-sin(1.35701579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212136006176817-0.212155883197628)×R²
    abs(0.81176346-0.81166758)×1.98770208104937e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.98770208104937e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.98770208104937e-05×40589641000000     		ar = 16793.024379457m²