Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41234 / 7930
↖ ↑ ↗
← N 79.438414°
E 46.505127°		 ← 111.96 m → N 79.438414°
E 46.510620°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
N 79.437407°
E 46.505127°		 ← 111.97 m →
12 534 m²		 N 79.437407°
E 46.510620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629188537597656 y=0.121009826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629188537597656 × 216)
    floor (0.629188537597656 × 65536)
    floor (41234.5)     		tx = 41234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121009826660156 × 216)
    floor (0.121009826660156 × 65536)
    floor (7930.5)     		ty = 7930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41234 / 7930 ti = "16/41234/7930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41234/7930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41234 ÷ 216
    41234 ÷ 65536     		x = 0.629180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7930 ÷ 216
    7930 ÷ 65536     		y = 0.121002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629180908203125 × 2 - 1) × π
    0.25836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81166758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121002197265625 × 2 - 1) × π
    0.75799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38131342552591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81166758} λ = 0.81166758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38131342552591))-π/2
    2×atan(10.8191036229359)-π/2
    2×1.47862909829547-π/2
    2.95725819659093-1.57079632675     		φ = 1.38646187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81166758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.505127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38646187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.438414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41234 KachelY 7930 0.81166758 1.38646187 46.505127 79.438414
    Oben rechts KachelX + 1 41235 KachelY 7930 0.81176346 1.38646187 46.510620 79.438414
    Unten links KachelX 41234 KachelY + 1 7931 0.81166758 1.38644430 46.505127 79.437407
    Unten rechts KachelX + 1 41235 KachelY + 1 7931 0.81176346 1.38644430 46.510620 79.437407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38646187-1.38644430) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38646187-1.38644430) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81166758-0.81176346) × cos(1.38646187) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183292306294329 × 6371000     		do = 111.964376572431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81166758-0.81176346) × cos(1.38644430) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183309578603131 × 6371000     		du = 111.974927387825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38646187)-sin(1.38644430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183292306294329-0.183309578603131)×R²
    abs(0.81176346-0.81166758)×1.72723088021354e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72723088021354e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72723088021354e-05×40589641000000     		ar = 12533.7115292341m²