Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41231 / 9492
↖ ↑ ↗
← N 77.744283°
E 46.488647°		 ← 129.67 m → N 77.744283°
E 46.494141°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
N 77.743117°
E 46.488647°		 ← 129.68 m →
16 812 m²		 N 77.743117°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629142761230469 y=0.144844055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629142761230469 × 216)
    floor (0.629142761230469 × 65536)
    floor (41231.5)     		tx = 41231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144844055175781 × 216)
    floor (0.144844055175781 × 65536)
    floor (9492.5)     		ty = 9492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41231 / 9492 ti = "16/41231/9492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41231/9492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41231 ÷ 216
    41231 ÷ 65536     		x = 0.629135131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9492 ÷ 216
    9492 ÷ 65536     		y = 0.14483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629135131835938 × 2 - 1) × π
    0.258270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81137996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14483642578125 × 2 - 1) × π
    0.7103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23155855111285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81137996} λ = 0.81137996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23155855111285))-π/2
    2×atan(9.31437169704808)-π/2
    2×1.46384501961646-π/2
    2.92769003923292-1.57079632675     		φ = 1.35689371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81137996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.488647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35689371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.744283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41231 KachelY 9492 0.81137996 1.35689371 46.488647 77.744283
    Oben rechts KachelX + 1 41232 KachelY 9492 0.81147584 1.35689371 46.494141 77.744283
    Unten links KachelX 41231 KachelY + 1 9493 0.81137996 1.35687336 46.488647 77.743117
    Unten rechts KachelX + 1 41232 KachelY + 1 9493 0.81147584 1.35687336 46.494141 77.743117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35689371-1.35687336) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35689371-1.35687336) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81137996-0.81147584) × cos(1.35689371) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.212275182567383 × 6371000     		do = 129.668609438471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81137996-0.81147584) × cos(1.35687336) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.212295068745499 × 6371000     		du = 129.680756939805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35689371)-sin(1.35687336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212275182567383-0.212295068745499)×R²
    abs(0.81147584-0.81137996)×1.98861781157411e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.98861781157411e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.98861781157411e-05×40589641000000     		ar = 16812.3032246721m²