Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41230 / 10044
↖ ↑ ↗
← N 77.083696°
E 46.483154°		 ← 136.53 m → N 77.083696°
E 46.488647°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
N 77.082468°
E 46.483154°		 ← 136.54 m →
18 641 m²		 N 77.082468°
E 46.488647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629127502441406 y=0.153266906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629127502441406 × 216)
    floor (0.629127502441406 × 65536)
    floor (41230.5)     		tx = 41230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153266906738281 × 216)
    floor (0.153266906738281 × 65536)
    floor (10044.5)     		ty = 10044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41230 / 10044 ti = "16/41230/10044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41230/10044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41230 ÷ 216
    41230 ÷ 65536     		x = 0.629119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10044 ÷ 216
    10044 ÷ 65536     		y = 0.15325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629119873046875 × 2 - 1) × π
    0.25823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81128409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15325927734375 × 2 - 1) × π
    0.6934814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17863621393231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81128409} λ = 0.81128409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17863621393231))-π/2
    2×atan(8.83425001243372)-π/2
    2×1.45808031347048-π/2
    2.91616062694097-1.57079632675     		φ = 1.34536430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81128409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.483154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34536430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.083696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41230 KachelY 10044 0.81128409 1.34536430 46.483154 77.083696
    Oben rechts KachelX + 1 41231 KachelY 10044 0.81137996 1.34536430 46.488647 77.083696
    Unten links KachelX 41230 KachelY + 1 10045 0.81128409 1.34534287 46.483154 77.082468
    Unten rechts KachelX + 1 41231 KachelY + 1 10045 0.81137996 1.34534287 46.488647 77.082468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34536430-1.34534287) × R
    2.14299999998779e-05 × 6371000     		dl = 136.530529999222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34536430-1.34534287) × R
    2.14299999998779e-05 × 6371000     		dr = 136.530529999222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81128409-0.81137996) × cos(1.34536430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223527478471323 × 6371000     		do = 136.527850109219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81128409-0.81137996) × cos(1.34534287) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223548366190166 × 6371000     		du = 136.540608072432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34536430)-sin(1.34534287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223527478471323-0.223548366190166)×R²
    abs(0.81137996-0.81128409)×2.08877188431211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08877188431211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08877188431211e-05×40589641000000     		ar = 18641.0906617358m²