Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41229 / 9579
↖ ↑ ↗
← N 77.642421°
E 46.477661°		 ← 130.72 m → N 77.642421°
E 46.483154°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
N 77.641246°
E 46.477661°		 ← 130.73 m →
17 090 m²		 N 77.641246°
E 46.483154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629112243652344 y=0.146171569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629112243652344 × 216)
    floor (0.629112243652344 × 65536)
    floor (41229.5)     		tx = 41229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146171569824219 × 216)
    floor (0.146171569824219 × 65536)
    floor (9579.5)     		ty = 9579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41229 / 9579 ti = "16/41229/9579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41229/9579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41229 ÷ 216
    41229 ÷ 65536     		x = 0.629104614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9579 ÷ 216
    9579 ÷ 65536     		y = 0.146163940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629104614257812 × 2 - 1) × π
    0.258209228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81118822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146163940429688 × 2 - 1) × π
    0.707672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22321753057896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81118822} λ = 0.81118822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22321753057896))-π/2
    2×atan(9.2370034451106)-π/2
    2×1.46295610645127-π/2
    2.92591221290255-1.57079632675     		φ = 1.35511589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81118822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.477661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35511589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.642421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41229 KachelY 9579 0.81118822 1.35511589 46.477661 77.642421
    Oben rechts KachelX + 1 41230 KachelY 9579 0.81128409 1.35511589 46.483154 77.642421
    Unten links KachelX 41229 KachelY + 1 9580 0.81118822 1.35509537 46.477661 77.641246
    Unten rechts KachelX + 1 41230 KachelY + 1 9580 0.81128409 1.35509537 46.483154 77.641246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35511589-1.35509537) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dl = 130.732920000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35511589-1.35509537) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dr = 130.732920000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81118822-0.81128409) × cos(1.35511589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214012149546536 × 6371000     		do = 130.716003574432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81118822-0.81128409) × cos(1.35509537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214032194073569 × 6371000     		du = 130.7282465264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35511589)-sin(1.35509537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214012149546536-0.214032194073569)×R²
    abs(0.81128409-0.81118822)×2.00445270330807e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00445270330807e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00445270330807e-05×40589641000000     		ar = 17089.6851170282m²