Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41228 / 9462
↖ ↑ ↗
← N 77.779215°
E 46.472168°		 ← 129.30 m → N 77.779215°
E 46.477661°		 →
↑
129.27 m
↓
↑
129.27 m
↓
N 77.778053°
E 46.472168°		 ← 129.32 m →
16 716 m²		 N 77.778053°
E 46.477661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629096984863281 y=0.144386291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629096984863281 × 216)
    floor (0.629096984863281 × 65536)
    floor (41228.5)     		tx = 41228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144386291503906 × 216)
    floor (0.144386291503906 × 65536)
    floor (9462.5)     		ty = 9462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41228 / 9462 ti = "16/41228/9462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41228/9462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41228 ÷ 216
    41228 ÷ 65536     		x = 0.62908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9462 ÷ 216
    9462 ÷ 65536     		y = 0.144378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    0.2581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81109234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144378662109375 × 2 - 1) × π
    0.71124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23443476509006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81109234} λ = 0.81109234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23443476509006))-π/2
    2×atan(9.34120038714345)-π/2
    2×1.4641498654073-π/2
    2.9282997308146-1.57079632675     		φ = 1.35750340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81109234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35750340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.779215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41228 KachelY 9462 0.81109234 1.35750340 46.472168 77.779215
    Oben rechts KachelX + 1 41229 KachelY 9462 0.81118822 1.35750340 46.477661 77.779215
    Unten links KachelX 41228 KachelY + 1 9463 0.81109234 1.35748311 46.472168 77.778053
    Unten rechts KachelX + 1 41229 KachelY + 1 9463 0.81118822 1.35748311 46.477661 77.778053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35750340-1.35748311) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dl = 129.267589999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35750340-1.35748311) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dr = 129.267589999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81109234-0.81118822) × cos(1.35750340) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211679348028541 × 6371000     		do = 129.304643028734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81109234-0.81118822) × cos(1.35748311) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21169917819673 × 6371000     		du = 129.316756316321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35750340)-sin(1.35748311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211679348028541-0.21169917819673)×R²
    abs(0.81118822-0.81109234)×1.98301681895441e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.98301681895441e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.98301681895441e-05×40589641000000     		ar = 16715.6825082919m²