Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41228 / 9460
↖ ↑ ↗
← N 77.781541°
E 46.472168°		 ← 129.28 m → N 77.781541°
E 46.477661°		 →
↑
129.27 m
↓
↑
129.27 m
↓
N 77.780379°
E 46.472168°		 ← 129.29 m →
16 713 m²		 N 77.780379°
E 46.477661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629096984863281 y=0.144355773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629096984863281 × 216)
    floor (0.629096984863281 × 65536)
    floor (41228.5)     		tx = 41228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144355773925781 × 216)
    floor (0.144355773925781 × 65536)
    floor (9460.5)     		ty = 9460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41228 / 9460 ti = "16/41228/9460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41228/9460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41228 ÷ 216
    41228 ÷ 65536     		x = 0.62908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9460 ÷ 216
    9460 ÷ 65536     		y = 0.14434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    0.2581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81109234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14434814453125 × 2 - 1) × π
    0.7113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23462651268854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81109234} λ = 0.81109234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23462651268854))-π/2
    2×atan(9.34299171162021)-π/2
    2×1.46417015800873-π/2
    2.92834031601747-1.57079632675     		φ = 1.35754399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81109234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35754399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.781541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41228 KachelY 9460 0.81109234 1.35754399 46.472168 77.781541
    Oben rechts KachelX + 1 41229 KachelY 9460 0.81118822 1.35754399 46.477661 77.781541
    Unten links KachelX 41228 KachelY + 1 9461 0.81109234 1.35752370 46.472168 77.780379
    Unten rechts KachelX + 1 41229 KachelY + 1 9461 0.81118822 1.35752370 46.477661 77.780379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35754399-1.35752370) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dl = 129.267589999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35754399-1.35752370) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dr = 129.267589999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81109234-0.81118822) × cos(1.35754399) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211639677657257 × 6371000     		do = 129.280410323723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81109234-0.81118822) × cos(1.35752370) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211659507999771 × 6371000     		du = 129.292523717797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35754399)-sin(1.35752370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211639677657257-0.211659507999771)×R²
    abs(0.81118822-0.81109234)×1.98303425143487e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.98303425143487e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.98303425143487e-05×40589641000000     		ar = 16712.5500119438m²