Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41227 / 9898
↖ ↑ ↗
← N 77.261748°
E 46.466675°		 ← 134.68 m → N 77.261748°
E 46.472168°		 →
↑
134.68 m
↓
↑
134.68 m
↓
N 77.260537°
E 46.466675°		 ← 134.69 m →
18 140 m²		 N 77.260537°
E 46.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629081726074219 y=0.151039123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629081726074219 × 216)
    floor (0.629081726074219 × 65536)
    floor (41227.5)     		tx = 41227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151039123535156 × 216)
    floor (0.151039123535156 × 65536)
    floor (9898.5)     		ty = 9898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41227 / 9898 ti = "16/41227/9898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41227/9898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41227 ÷ 216
    41227 ÷ 65536     		x = 0.629074096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9898 ÷ 216
    9898 ÷ 65536     		y = 0.151031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629074096679688 × 2 - 1) × π
    0.258148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81099647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151031494140625 × 2 - 1) × π
    0.69793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19263378862137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81099647} λ = 0.81099647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19263378862137))-π/2
    2×atan(8.95877759563871)-π/2
    2×1.45963410860174-π/2
    2.91926821720349-1.57079632675     		φ = 1.34847189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81099647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.466675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34847189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.261748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41227 KachelY 9898 0.81099647 1.34847189 46.466675 77.261748
    Oben rechts KachelX + 1 41228 KachelY 9898 0.81109234 1.34847189 46.472168 77.261748
    Unten links KachelX 41227 KachelY + 1 9899 0.81099647 1.34845075 46.466675 77.260537
    Unten rechts KachelX + 1 41228 KachelY + 1 9899 0.81109234 1.34845075 46.472168 77.260537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34847189-1.34845075) × R
    2.1139999999864e-05 × 6371000     		dl = 134.682939999134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34847189-1.34845075) × R
    2.1139999999864e-05 × 6371000     		dr = 134.682939999134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81099647-0.81109234) × cos(1.34847189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220497443429671 × 6371000     		do = 134.677141763107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81099647-0.81109234) × cos(1.34845075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220518063073258 × 6371000     		du = 134.689735989232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34847189)-sin(1.34845075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220497443429671-0.220518063073258)×R²
    abs(0.81109234-0.81099647)×2.06196435866557e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06196435866557e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06196435866557e-05×40589641000000     		ar = 18139.5615177229m²