Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41226 / 9900
↖ ↑ ↗
← N 77.259326°
E 46.461181°		 ← 134.72 m → N 77.259326°
E 46.466675°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
N 77.258114°
E 46.461181°		 ← 134.73 m →
18 153 m²		 N 77.258114°
E 46.466675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629066467285156 y=0.151069641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629066467285156 × 216)
    floor (0.629066467285156 × 65536)
    floor (41226.5)     		tx = 41226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151069641113281 × 216)
    floor (0.151069641113281 × 65536)
    floor (9900.5)     		ty = 9900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41226 / 9900 ti = "16/41226/9900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41226/9900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41226 ÷ 216
    41226 ÷ 65536     		x = 0.629058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9900 ÷ 216
    9900 ÷ 65536     		y = 0.15106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629058837890625 × 2 - 1) × π
    0.25811767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81090059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15106201171875 × 2 - 1) × π
    0.6978759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19244204102289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81090059} λ = 0.81090059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19244204102289))-π/2
    2×atan(8.95705993623322)-π/2
    2×1.45961296669716-π/2
    2.91922593339432-1.57079632675     		φ = 1.34842961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81090059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.461181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34842961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.259326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41226 KachelY 9900 0.81090059 1.34842961 46.461181 77.259326
    Oben rechts KachelX + 1 41227 KachelY 9900 0.81099647 1.34842961 46.466675 77.259326
    Unten links KachelX 41226 KachelY + 1 9901 0.81090059 1.34840846 46.461181 77.258114
    Unten rechts KachelX + 1 41227 KachelY + 1 9901 0.81099647 1.34840846 46.466675 77.258114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34842961-1.34840846) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34842961-1.34840846) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81090059-0.81099647) × cos(1.34842961) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220538682618295 × 6371000     		do = 134.716380674548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81090059-0.81099647) × cos(1.34840846) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22055931181851 × 6371000     		du = 134.72898205203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34842961)-sin(1.34840846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220538682618295-0.22055931181851)×R²
    abs(0.81099647-0.81090059)×2.06292002143671e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.06292002143671e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.06292002143671e-05×40589641000000     		ar = 18153.4299938112m²