Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41223 / 7939
↖ ↑ ↗
← N 79.429348°
E 46.444702°		 ← 112.06 m → N 79.429348°
E 46.450196°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
N 79.428340°
E 46.444702°		 ← 112.07 m →
12 559 m²		 N 79.428340°
E 46.450196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629020690917969 y=0.121147155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629020690917969 × 216)
    floor (0.629020690917969 × 65536)
    floor (41223.5)     		tx = 41223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121147155761719 × 216)
    floor (0.121147155761719 × 65536)
    floor (7939.5)     		ty = 7939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41223 / 7939 ti = "16/41223/7939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41223/7939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41223 ÷ 216
    41223 ÷ 65536     		x = 0.629013061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7939 ÷ 216
    7939 ÷ 65536     		y = 0.121139526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629013061523438 × 2 - 1) × π
    0.258026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81061297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121139526367188 × 2 - 1) × π
    0.757720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38045056133275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81061297} λ = 0.81061297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38045056133275))-π/2
    2×atan(10.809772232258)-π/2
    2×1.47854998656336-π/2
    2.95709997312672-1.57079632675     		φ = 1.38630365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81061297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.444702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38630365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.429348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41223 KachelY 7939 0.81061297 1.38630365 46.444702 79.429348
    Oben rechts KachelX + 1 41224 KachelY 7939 0.81070885 1.38630365 46.450196 79.429348
    Unten links KachelX 41223 KachelY + 1 7940 0.81061297 1.38628606 46.444702 79.428340
    Unten rechts KachelX + 1 41224 KachelY + 1 7940 0.81070885 1.38628606 46.450196 79.428340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38630365-1.38628606) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dl = 112.065890000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38630365-1.38628606) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dr = 112.065890000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81061297-0.81070885) × cos(1.38630365) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183447843508562 × 6371000     		do = 112.05938671007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81061297-0.81070885) × cos(1.38628606) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18346513496811 × 6371000     		du = 112.069949223726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38630365)-sin(1.38628606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183447843508562-0.18346513496811)×R²
    abs(0.81070885-0.81061297)×1.7291459547486e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.7291459547486e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.7291459547486e-05×40589641000000     		ar = 12558.626753775m²