Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41221 / 9471
↖ ↑ ↗
← N 77.768746°
E 46.433716°		 ← 129.41 m → N 77.768746°
E 46.439209°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 77.767582°
E 46.433716°		 ← 129.43 m →
16 755 m²		 N 77.767582°
E 46.439209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628990173339844 y=0.144523620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628990173339844 × 216)
    floor (0.628990173339844 × 65536)
    floor (41221.5)     		tx = 41221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144523620605469 × 216)
    floor (0.144523620605469 × 65536)
    floor (9471.5)     		ty = 9471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41221 / 9471 ti = "16/41221/9471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41221/9471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41221 ÷ 216
    41221 ÷ 65536     		x = 0.628982543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9471 ÷ 216
    9471 ÷ 65536     		y = 0.144515991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628982543945312 × 2 - 1) × π
    0.257965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81042122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144515991210938 × 2 - 1) × π
    0.710968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2335719008969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81042122} λ = 0.81042122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2335719008969))-π/2
    2×atan(9.3331436762318)-π/2
    2×1.46405850162596-π/2
    2.92811700325191-1.57079632675     		φ = 1.35732068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81042122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.433716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35732068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.768746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41221 KachelY 9471 0.81042122 1.35732068 46.433716 77.768746
    Oben rechts KachelX + 1 41222 KachelY 9471 0.81051710 1.35732068 46.439209 77.768746
    Unten links KachelX 41221 KachelY + 1 9472 0.81042122 1.35730036 46.433716 77.767582
    Unten rechts KachelX + 1 41222 KachelY + 1 9472 0.81051710 1.35730036 46.439209 77.767582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35732068-1.35730036) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35732068-1.35730036) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81042122-0.81051710) × cos(1.35732068) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.2118579239071 × 6371000     		do = 129.413726368295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81042122-0.81051710) × cos(1.35730036) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21187778260903 × 6371000     		du = 129.425857085759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35732068)-sin(1.35730036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2118579239071-0.21187778260903)×R²
    abs(0.81051710-0.81042122)×1.98587019293595e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.98587019293595e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.98587019293595e-05×40589641000000     		ar = 16754.5205801735m²