Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41220 / 9572
↖ ↑ ↗
← N 77.650648°
E 46.428223°		 ← 130.63 m → N 77.650648°
E 46.433716°		 →
↑
130.67 m
↓
↑
130.67 m
↓
N 77.649473°
E 46.428223°		 ← 130.64 m →
17 070 m²		 N 77.649473°
E 46.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628974914550781 y=0.146064758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628974914550781 × 216)
    floor (0.628974914550781 × 65536)
    floor (41220.5)     		tx = 41220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146064758300781 × 216)
    floor (0.146064758300781 × 65536)
    floor (9572.5)     		ty = 9572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41220 / 9572 ti = "16/41220/9572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41220/9572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41220 ÷ 216
    41220 ÷ 65536     		x = 0.62896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9572 ÷ 216
    9572 ÷ 65536     		y = 0.14605712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    0.2579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81032535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14605712890625 × 2 - 1) × π
    0.7078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22388864717364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81032535} λ = 0.81032535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22388864717364))-π/2
    2×atan(9.24320463203471)-π/2
    2×1.46302789647064-π/2
    2.92605579294128-1.57079632675     		φ = 1.35525947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81032535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35525947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.650648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41220 KachelY 9572 0.81032535 1.35525947 46.428223 77.650648
    Oben rechts KachelX + 1 41221 KachelY 9572 0.81042122 1.35525947 46.433716 77.650648
    Unten links KachelX 41220 KachelY + 1 9573 0.81032535 1.35523896 46.428223 77.649473
    Unten rechts KachelX + 1 41221 KachelY + 1 9573 0.81042122 1.35523896 46.433716 77.649473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35525947-1.35523896) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dl = 130.669209999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35525947-1.35523896) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dr = 130.669209999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81032535-0.81042122) × cos(1.35525947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213871893946284 × 6371000     		do = 130.630337169125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81032535-0.81042122) × cos(1.35523896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213891929335102 × 6371000     		du = 130.642574539582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35525947)-sin(1.35523896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213871893946284-0.213891929335102)×R²
    abs(0.81042122-0.81032535)×2.00353888183125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00353888183125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00353888183125e-05×40589641000000     		ar = 17070.1624840467m²