Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41220 / 7431
↖ ↑ ↗
← N 79.929197°
E 46.428223°		 ← 106.81 m → N 79.929197°
E 46.433716°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
N 79.928236°
E 46.428223°		 ← 106.82 m →
11 412 m²		 N 79.928236°
E 46.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628974914550781 y=0.113395690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628974914550781 × 216)
    floor (0.628974914550781 × 65536)
    floor (41220.5)     		tx = 41220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113395690917969 × 216)
    floor (0.113395690917969 × 65536)
    floor (7431.5)     		ty = 7431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41220 / 7431 ti = "16/41220/7431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41220/7431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41220 ÷ 216
    41220 ÷ 65536     		x = 0.62896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7431 ÷ 216
    7431 ÷ 65536     		y = 0.113388061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    0.2579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81032535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113388061523438 × 2 - 1) × π
    0.773223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42915445134673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81032535} λ = 0.81032535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42915445134673))-π/2
    2×atan(11.3492816519425)-π/2
    2×1.48291198736474-π/2
    2.96582397472948-1.57079632675     		φ = 1.39502765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81032535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39502765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.929197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41220 KachelY 7431 0.81032535 1.39502765 46.428223 79.929197
    Oben rechts KachelX + 1 41221 KachelY 7431 0.81042122 1.39502765 46.433716 79.929197
    Unten links KachelX 41220 KachelY + 1 7432 0.81032535 1.39501088 46.428223 79.928236
    Unten rechts KachelX + 1 41221 KachelY + 1 7432 0.81042122 1.39501088 46.433716 79.928236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39502765-1.39501088) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39502765-1.39501088) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81032535-0.81042122) × cos(1.39502765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174865022521716 × 6371000     		do = 106.805417157036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81032535-0.81042122) × cos(1.39501088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174881534111928 × 6371000     		du = 106.815502234401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39502765)-sin(1.39501088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174865022521716-0.174881534111928)×R²
    abs(0.81042122-0.81032535)×1.65115902117652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65115902117652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65115902117652e-05×40589641000000     		ar = 11411.8078878292m²