Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41217 / 9479
↖ ↑ ↗
← N 77.759432°
E 46.411743°		 ← 129.50 m → N 77.759432°
E 46.417236°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 77.758268°
E 46.411743°		 ← 129.51 m →
16 774 m²		 N 77.758268°
E 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628929138183594 y=0.144645690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628929138183594 × 216)
    floor (0.628929138183594 × 65536)
    floor (41217.5)     		tx = 41217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144645690917969 × 216)
    floor (0.144645690917969 × 65536)
    floor (9479.5)     		ty = 9479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41217 / 9479 ti = "16/41217/9479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41217/9479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41217 ÷ 216
    41217 ÷ 65536     		x = 0.628921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9479 ÷ 216
    9479 ÷ 65536     		y = 0.144638061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628921508789062 × 2 - 1) × π
    0.257843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81003773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144638061523438 × 2 - 1) × π
    0.710723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23280491050298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81003773} λ = 0.81003773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23280491050298))-π/2
    2×atan(9.32598798920944)-π/2
    2×1.46397722467074-π/2
    2.92795444934148-1.57079632675     		φ = 1.35715812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81003773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35715812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.759432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41217 KachelY 9479 0.81003773 1.35715812 46.411743 77.759432
    Oben rechts KachelX + 1 41218 KachelY 9479 0.81013360 1.35715812 46.417236 77.759432
    Unten links KachelX 41217 KachelY + 1 9480 0.81003773 1.35713779 46.411743 77.758268
    Unten rechts KachelX + 1 41218 KachelY + 1 9480 0.81013360 1.35713779 46.417236 77.758268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35715812-1.35713779) × R
    2.03300000001239e-05 × 6371000     		dl = 129.522430000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35715812-1.35713779) × R
    2.03300000001239e-05 × 6371000     		dr = 129.522430000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81003773-0.81013360) × cos(1.35715812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2120167910725 × 6371000     		do = 129.497263021726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81003773-0.81013360) × cos(1.35713779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212036658846939 × 6371000     		du = 129.50939801537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35715812)-sin(1.35713779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2120167910725-0.212036658846939)×R²
    abs(0.81013360-0.81003773)×1.9867774438298e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9867774438298e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9867774438298e-05×40589641000000     		ar = 16773.5860625764m²