Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41217 / 7933
↖ ↑ ↗
← N 79.435392°
E 46.411743°		 ← 111.98 m → N 79.435392°
E 46.417236°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
N 79.434385°
E 46.411743°		 ← 111.99 m →
12 543 m²		 N 79.434385°
E 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628929138183594 y=0.121055603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628929138183594 × 216)
    floor (0.628929138183594 × 65536)
    floor (41217.5)     		tx = 41217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121055603027344 × 216)
    floor (0.121055603027344 × 65536)
    floor (7933.5)     		ty = 7933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41217 / 7933 ti = "16/41217/7933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41217/7933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41217 ÷ 216
    41217 ÷ 65536     		x = 0.628921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7933 ÷ 216
    7933 ÷ 65536     		y = 0.121047973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628921508789062 × 2 - 1) × π
    0.257843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81003773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121047973632812 × 2 - 1) × π
    0.757904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38102580412819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81003773} λ = 0.81003773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38102580412819))-π/2
    2×atan(10.8159922646979)-π/2
    2×1.47860273517389-π/2
    2.95720547034778-1.57079632675     		φ = 1.38640914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81003773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38640914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.435392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41217 KachelY 7933 0.81003773 1.38640914 46.411743 79.435392
    Oben rechts KachelX + 1 41218 KachelY 7933 0.81013360 1.38640914 46.417236 79.435392
    Unten links KachelX 41217 KachelY + 1 7934 0.81003773 1.38639156 46.411743 79.434385
    Unten rechts KachelX + 1 41218 KachelY + 1 7934 0.81013360 1.38639156 46.417236 79.434385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38640914-1.38639156) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38640914-1.38639156) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81003773-0.81013360) × cos(1.38640914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18334414271194 × 6371000     		do = 111.984360069585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81003773-0.81013360) × cos(1.38639156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183361424681352 × 6371000     		du = 111.994915685143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38640914)-sin(1.38639156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18334414271194-0.183361424681352)×R²
    abs(0.81013360-0.81003773)×1.72819694116422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72819694116422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72819694116422e-05×40589641000000     		ar = 12543.0835800176m²