Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41216 / 7429
↖ ↑ ↗
← N 79.931117°
E 46.406250°		 ← 106.79 m → N 79.931117°
E 46.411743°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
N 79.930157°
E 46.406250°		 ← 106.80 m →
11 403 m²		 N 79.930157°
E 46.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628913879394531 y=0.113365173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628913879394531 × 216)
    floor (0.628913879394531 × 65536)
    floor (41216.5)     		tx = 41216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113365173339844 × 216)
    floor (0.113365173339844 × 65536)
    floor (7429.5)     		ty = 7429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41216 / 7429 ti = "16/41216/7429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41216/7429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41216 ÷ 216
    41216 ÷ 65536     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7429 ÷ 216
    7429 ÷ 65536     		y = 0.113357543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113357543945312 × 2 - 1) × π
    0.773284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42934619894521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42934619894521))-π/2
    2×atan(11.3514580580974)-π/2
    2×1.48292875075654-π/2
    2.96585750151308-1.57079632675     		φ = 1.39506117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39506117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.931117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41216 KachelY 7429 0.80994186 1.39506117 46.406250 79.931117
    Oben rechts KachelX + 1 41217 KachelY 7429 0.81003773 1.39506117 46.411743 79.931117
    Unten links KachelX 41216 KachelY + 1 7430 0.80994186 1.39504441 46.406250 79.930157
    Unten rechts KachelX + 1 41217 KachelY + 1 7430 0.81003773 1.39504441 46.411743 79.930157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39506117-1.39504441) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39506117-1.39504441) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81003773) × cos(1.39506117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174832018885729 × 6371000     		do = 106.78525893981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81003773) × cos(1.39504441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17484852072828 × 6371000     		du = 106.795338063422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39506117)-sin(1.39504441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174832018885729-0.17484852072828)×R²
    abs(0.81003773-0.80994186)×1.6501842550698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6501842550698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6501842550698e-05×40589641000000     		ar = 11402.8502222787m²