Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41215 / 7434
↖ ↑ ↗
← N 79.926315°
E 46.400757°		 ← 106.85 m → N 79.926315°
E 46.406250°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
N 79.925354°
E 46.400757°		 ← 106.86 m →
11 416 m²		 N 79.925354°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628898620605469 y=0.113441467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628898620605469 × 216)
    floor (0.628898620605469 × 65536)
    floor (41215.5)     		tx = 41215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113441467285156 × 216)
    floor (0.113441467285156 × 65536)
    floor (7434.5)     		ty = 7434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41215 / 7434 ti = "16/41215/7434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41215/7434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41215 ÷ 216
    41215 ÷ 65536     		x = 0.628890991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7434 ÷ 216
    7434 ÷ 65536     		y = 0.113433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628890991210938 × 2 - 1) × π
    0.257781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80984598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113433837890625 × 2 - 1) × π
    0.77313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42886682994901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80984598} λ = 0.80984598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42886682994901))-π/2
    2×atan(11.3460178250864)-π/2
    2×1.48288683634227-π/2
    2.96577367268455-1.57079632675     		φ = 1.39497735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80984598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.400757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39497735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.926315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41215 KachelY 7434 0.80984598 1.39497735 46.400757 79.926315
    Oben rechts KachelX + 1 41216 KachelY 7434 0.80994186 1.39497735 46.406250 79.926315
    Unten links KachelX 41215 KachelY + 1 7435 0.80984598 1.39496058 46.400757 79.925354
    Unten rechts KachelX + 1 41216 KachelY + 1 7435 0.80994186 1.39496058 46.406250 79.925354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39497735-1.39496058) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39497735-1.39496058) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80984598-0.80994186) × cos(1.39497735) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174914547298963 × 6371000     		do = 106.846810091155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80984598-0.80994186) × cos(1.39496058) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174931058741643 × 6371000     		du = 106.856896130353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39497735)-sin(1.39496058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174914547298963-0.174931058741643)×R²
    abs(0.80994186-0.80984598)×1.65114426798618e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.65114426798618e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.65114426798618e-05×40589641000000     		ar = 11416.2304291213m²