Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41214 / 9478
↖ ↑ ↗
← N 77.760597°
E 46.395264°		 ← 129.49 m → N 77.760597°
E 46.400757°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 77.759432°
E 46.395264°		 ← 129.50 m →
16 772 m²		 N 77.759432°
E 46.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628883361816406 y=0.144630432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628883361816406 × 216)
    floor (0.628883361816406 × 65536)
    floor (41214.5)     		tx = 41214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144630432128906 × 216)
    floor (0.144630432128906 × 65536)
    floor (9478.5)     		ty = 9478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41214 / 9478 ti = "16/41214/9478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41214/9478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41214 ÷ 216
    41214 ÷ 65536     		x = 0.628875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9478 ÷ 216
    9478 ÷ 65536     		y = 0.144622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628875732421875 × 2 - 1) × π
    0.25775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80975011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144622802734375 × 2 - 1) × π
    0.71075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23290078430222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80975011} λ = 0.80975011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23290078430222))-π/2
    2×atan(9.32688214997225)-π/2
    2×1.46398738762214-π/2
    2.92797477524428-1.57079632675     		φ = 1.35717845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80975011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35717845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.760597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41214 KachelY 9478 0.80975011 1.35717845 46.395264 77.760597
    Oben rechts KachelX + 1 41215 KachelY 9478 0.80984598 1.35717845 46.400757 77.760597
    Unten links KachelX 41214 KachelY + 1 9479 0.80975011 1.35715812 46.395264 77.759432
    Unten rechts KachelX + 1 41215 KachelY + 1 9479 0.80984598 1.35715812 46.400757 77.759432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35717845-1.35715812) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35717845-1.35715812) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80975011-0.80984598) × cos(1.35717845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211996923210434 × 6371000     		do = 129.485127974559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80975011-0.80984598) × cos(1.35715812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2120167910725 × 6371000     		du = 129.497263021726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35717845)-sin(1.35715812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211996923210434-0.2120167910725)×R²
    abs(0.80984598-0.80975011)×1.98678620665083e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98678620665083e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98678620665083e-05×40589641000000     		ar = 16772.0143050624m²