Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41214 / 7428
↖ ↑ ↗
← N 79.932078°
E 46.395264°		 ← 106.78 m → N 79.932078°
E 46.400757°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
N 79.931117°
E 46.395264°		 ← 106.79 m →
11 409 m²		 N 79.931117°
E 46.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628883361816406 y=0.113349914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628883361816406 × 216)
    floor (0.628883361816406 × 65536)
    floor (41214.5)     		tx = 41214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113349914550781 × 216)
    floor (0.113349914550781 × 65536)
    floor (7428.5)     		ty = 7428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41214 / 7428 ti = "16/41214/7428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41214/7428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41214 ÷ 216
    41214 ÷ 65536     		x = 0.628875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7428 ÷ 216
    7428 ÷ 65536     		y = 0.11334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628875732421875 × 2 - 1) × π
    0.25775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80975011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11334228515625 × 2 - 1) × π
    0.7733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42944207274445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80975011} λ = 0.80975011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42944207274445))-π/2
    2×atan(11.3525464176801)-π/2
    2×1.4829371312657-π/2
    2.9658742625314-1.57079632675     		φ = 1.39507794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80975011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39507794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.932078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41214 KachelY 7428 0.80975011 1.39507794 46.395264 79.932078
    Oben rechts KachelX + 1 41215 KachelY 7428 0.80984598 1.39507794 46.400757 79.932078
    Unten links KachelX 41214 KachelY + 1 7429 0.80975011 1.39506117 46.395264 79.931117
    Unten rechts KachelX + 1 41215 KachelY + 1 7429 0.80984598 1.39506117 46.400757 79.931117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39507794-1.39506117) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39507794-1.39506117) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80975011-0.80984598) × cos(1.39507794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174815507148057 × 6371000     		do = 106.775173772378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80975011-0.80984598) × cos(1.39506117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174832018885729 × 6371000     		du = 106.78525893981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39507794)-sin(1.39506117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174815507148057-0.174832018885729)×R²
    abs(0.80984598-0.80975011)×1.65117376725865e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65117376725865e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65117376725865e-05×40589641000000     		ar = 11408.5766386041m²