Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41214 / 7246
↖ ↑ ↗
← N 80.105358°
E 46.395264°		 ← 104.96 m → N 80.105358°
E 46.400757°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
N 80.104413°
E 46.395264°		 ← 104.97 m →
11 020 m²		 N 80.104413°
E 46.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628883361816406 y=0.110572814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628883361816406 × 216)
    floor (0.628883361816406 × 65536)
    floor (41214.5)     		tx = 41214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110572814941406 × 216)
    floor (0.110572814941406 × 65536)
    floor (7246.5)     		ty = 7246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41214 / 7246 ti = "16/41214/7246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41214/7246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41214 ÷ 216
    41214 ÷ 65536     		x = 0.628875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7246 ÷ 216
    7246 ÷ 65536     		y = 0.110565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628875732421875 × 2 - 1) × π
    0.25775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80975011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110565185546875 × 2 - 1) × π
    0.77886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44689110420615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80975011} λ = 0.80975011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44689110420615))-π/2
    2×atan(11.5523757008964)-π/2
    2×1.48444928277861-π/2
    2.96889856555722-1.57079632675     		φ = 1.39810224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80975011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39810224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.105358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41214 KachelY 7246 0.80975011 1.39810224 46.395264 80.105358
    Oben rechts KachelX + 1 41215 KachelY 7246 0.80984598 1.39810224 46.400757 80.105358
    Unten links KachelX 41214 KachelY + 1 7247 0.80975011 1.39808576 46.395264 80.104413
    Unten rechts KachelX + 1 41215 KachelY + 1 7247 0.80984598 1.39808576 46.400757 80.104413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39810224-1.39808576) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39810224-1.39808576) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80975011-0.80984598) × cos(1.39810224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171836982789623 × 6371000     		do = 104.9559275216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80975011-0.80984598) × cos(1.39808576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17185321763286 × 6371000     		du = 104.965843565297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39810224)-sin(1.39808576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171836982789623-0.17185321763286)×R²
    abs(0.80984598-0.80975011)×1.62348432367065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62348432367065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62348432367065e-05×40589641000000     		ar = 11020.2716136356m²