Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41213 / 9573
↖ ↑ ↗
← N 77.649473°
E 46.389770°		 ← 130.66 m → N 77.649473°
E 46.395264°		 →
↑
130.67 m
↓
↑
130.67 m
↓
N 77.648298°
E 46.389770°		 ← 130.67 m →
17 074 m²		 N 77.648298°
E 46.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628868103027344 y=0.146080017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628868103027344 × 216)
    floor (0.628868103027344 × 65536)
    floor (41213.5)     		tx = 41213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146080017089844 × 216)
    floor (0.146080017089844 × 65536)
    floor (9573.5)     		ty = 9573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41213 / 9573 ti = "16/41213/9573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41213/9573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41213 ÷ 216
    41213 ÷ 65536     		x = 0.628860473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9573 ÷ 216
    9573 ÷ 65536     		y = 0.146072387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628860473632812 × 2 - 1) × π
    0.257720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80965423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146072387695312 × 2 - 1) × π
    0.707855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2237927733744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80965423} λ = 0.80965423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2237927733744))-π/2
    2×atan(9.2423184933689)-π/2
    2×1.46301764363484-π/2
    2.92603528726968-1.57079632675     		φ = 1.35523896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80965423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.389770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35523896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.649473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41213 KachelY 9573 0.80965423 1.35523896 46.389770 77.649473
    Oben rechts KachelX + 1 41214 KachelY 9573 0.80975011 1.35523896 46.395264 77.649473
    Unten links KachelX 41213 KachelY + 1 9574 0.80965423 1.35521845 46.389770 77.648298
    Unten rechts KachelX + 1 41214 KachelY + 1 9574 0.80975011 1.35521845 46.395264 77.648298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35523896-1.35521845) × R
    2.05100000001401e-05 × 6371000     		dl = 130.669210000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35523896-1.35521845) × R
    2.05100000001401e-05 × 6371000     		dr = 130.669210000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80965423-0.80975011) × cos(1.35523896) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.213891929335102 × 6371000     		do = 130.656201594317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80965423-0.80975011) × cos(1.35521845) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.213911964633945 × 6371000     		du = 130.668440186267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35523896)-sin(1.35521845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213891929335102-0.213911964633945)×R²
    abs(0.80975011-0.80965423)×2.00352988427299e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.00352988427299e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.00352988427299e-05×40589641000000     		ar = 17073.5422485202m²