Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41213 / 9563
↖ ↑ ↗
← N 77.661217°
E 46.389770°		 ← 130.53 m → N 77.661217°
E 46.395264°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
N 77.660043°
E 46.389770°		 ← 130.55 m →
17 041 m²		 N 77.660043°
E 46.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628868103027344 y=0.145927429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628868103027344 × 216)
    floor (0.628868103027344 × 65536)
    floor (41213.5)     		tx = 41213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145927429199219 × 216)
    floor (0.145927429199219 × 65536)
    floor (9563.5)     		ty = 9563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41213 / 9563 ti = "16/41213/9563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41213/9563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41213 ÷ 216
    41213 ÷ 65536     		x = 0.628860473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9563 ÷ 216
    9563 ÷ 65536     		y = 0.145919799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628860473632812 × 2 - 1) × π
    0.257720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80965423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145919799804688 × 2 - 1) × π
    0.708160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22475151136681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80965423} λ = 0.80965423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22475151136681))-π/2
    2×atan(9.25118370427456)-π/2
    2×1.46312012879462-π/2
    2.92624025758924-1.57079632675     		φ = 1.35544393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80965423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.389770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35544393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.661217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41213 KachelY 9563 0.80965423 1.35544393 46.389770 77.661217
    Oben rechts KachelX + 1 41214 KachelY 9563 0.80975011 1.35544393 46.395264 77.661217
    Unten links KachelX 41213 KachelY + 1 9564 0.80965423 1.35542344 46.389770 77.660043
    Unten rechts KachelX + 1 41214 KachelY + 1 9564 0.80975011 1.35542344 46.395264 77.660043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35544393-1.35542344) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35544393-1.35542344) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80965423-0.80975011) × cos(1.35544393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21369169839655 × 6371000     		do = 130.53389022916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80965423-0.80975011) × cos(1.35542344) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.213711715056266 × 6371000     		du = 130.546117435373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35544393)-sin(1.35542344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21369169839655-0.213711715056266)×R²
    abs(0.80975011-0.80965423)×2.00166597161822e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.00166597161822e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.00166597161822e-05×40589641000000     		ar = 17040.9257675167m²