Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41212 / 9588
↖ ↑ ↗
← N 77.631836°
E 46.384277°		 ← 130.83 m → N 77.631836°
E 46.389770°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
N 77.630660°
E 46.384277°		 ← 130.84 m →
17 112 m²		 N 77.630660°
E 46.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628852844238281 y=0.146308898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628852844238281 × 216)
    floor (0.628852844238281 × 65536)
    floor (41212.5)     		tx = 41212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146308898925781 × 216)
    floor (0.146308898925781 × 65536)
    floor (9588.5)     		ty = 9588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41212 / 9588 ti = "16/41212/9588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41212/9588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41212 ÷ 216
    41212 ÷ 65536     		x = 0.62884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9588 ÷ 216
    9588 ÷ 65536     		y = 0.14630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62884521484375 × 2 - 1) × π
    0.2576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80955836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14630126953125 × 2 - 1) × π
    0.7073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2223546663858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80955836} λ = 0.80955836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2223546663858))-π/2
    2×atan(9.2290366032313)-π/2
    2×1.46286373581692-π/2
    2.92572747163384-1.57079632675     		φ = 1.35493114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80955836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35493114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.631836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41212 KachelY 9588 0.80955836 1.35493114 46.384277 77.631836
    Oben rechts KachelX + 1 41213 KachelY 9588 0.80965423 1.35493114 46.389770 77.631836
    Unten links KachelX 41212 KachelY + 1 9589 0.80955836 1.35491061 46.384277 77.630660
    Unten rechts KachelX + 1 41213 KachelY + 1 9589 0.80965423 1.35491061 46.389770 77.630660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35493114-1.35491061) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35493114-1.35491061) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80955836-0.80965423) × cos(1.35493114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214192615420111 × 6371000     		do = 130.826229922915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80955836-0.80965423) × cos(1.35491061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2142126689033 × 6371000     		du = 130.838478345192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35493114)-sin(1.35491061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214192615420111-0.2142126689033)×R²
    abs(0.80965423-0.80955836)×2.00534831883425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00534831883425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00534831883425e-05×40589641000000     		ar = 17112.4310162901m²