Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41212 / 9564
↖ ↑ ↗
← N 77.660043°
E 46.384277°		 ← 130.53 m → N 77.660043°
E 46.389770°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
N 77.658869°
E 46.384277°		 ← 130.54 m →
17 041 m²		 N 77.658869°
E 46.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628852844238281 y=0.145942687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628852844238281 × 216)
    floor (0.628852844238281 × 65536)
    floor (41212.5)     		tx = 41212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145942687988281 × 216)
    floor (0.145942687988281 × 65536)
    floor (9564.5)     		ty = 9564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41212 / 9564 ti = "16/41212/9564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41212/9564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41212 ÷ 216
    41212 ÷ 65536     		x = 0.62884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9564 ÷ 216
    9564 ÷ 65536     		y = 0.14593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62884521484375 × 2 - 1) × π
    0.2576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80955836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14593505859375 × 2 - 1) × π
    0.7081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22465563756757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80955836} λ = 0.80955836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22465563756757))-π/2
    2×atan(9.25029680066145)-π/2
    2×1.46310988459744-π/2
    2.92621976919487-1.57079632675     		φ = 1.35542344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80955836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35542344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.660043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41212 KachelY 9564 0.80955836 1.35542344 46.384277 77.660043
    Oben rechts KachelX + 1 41213 KachelY 9564 0.80965423 1.35542344 46.389770 77.660043
    Unten links KachelX 41212 KachelY + 1 9565 0.80955836 1.35540295 46.384277 77.658869
    Unten rechts KachelX + 1 41213 KachelY + 1 9565 0.80965423 1.35540295 46.389770 77.658869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35542344-1.35540295) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35542344-1.35540295) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80955836-0.80965423) × cos(1.35542344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213711715056266 × 6371000     		do = 130.532501862089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80955836-0.80965423) × cos(1.35540295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213731731626257 × 6371000     		du = 130.544727738237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35542344)-sin(1.35540295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213711715056266-0.213731731626257)×R²
    abs(0.80965423-0.80955836)×2.00165699914268e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00165699914268e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00165699914268e-05×40589641000000     		ar = 17040.7444404984m²