Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4121 / 4053
↖ ↑ ↗
← N  1.889306°
E  1.098633°		 ← 4 883.84 m → N  1.889306°
E  1.142578°		 →
↑
4 883.88 m
↓
↑
4 883.88 m
↓
N  1.845384°
E  1.098633°		 ← 4 883.96 m →
23 852 378 m²		 N  1.845384°
E  1.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50311279296875 y=0.49481201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50311279296875 × 213)
    floor (0.50311279296875 × 8192)
    floor (4121.5)     		tx = 4121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49481201171875 × 213)
    floor (0.49481201171875 × 8192)
    floor (4053.5)     		ty = 4053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4121 / 4053 ti = "13/4121/4053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4121/4053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4121 ÷ 213
    4121 ÷ 8192     		x = 0.5030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4053 ÷ 213
    4053 ÷ 8192     		y = 0.4947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5030517578125 × 2 - 1) × π
    0.006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4947509765625 × 2 - 1) × π
    0.010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0329805869385986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01917476} λ = 0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0329805869385986))-π/2
    2×atan(1.03353047505598)-π/2
    2×0.801885468211514-π/2
    1.60377093642303-1.57079632675     		φ = 0.03297461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03297461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.889306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4121 KachelY 4053 0.01917476 0.03297461 1.098633 1.889306
    Oben rechts KachelX + 1 4122 KachelY 4053 0.01994175 0.03297461 1.142578 1.889306
    Unten links KachelX 4121 KachelY + 1 4054 0.01917476 0.03220803 1.098633 1.845384
    Unten rechts KachelX + 1 4122 KachelY + 1 4054 0.01994175 0.03220803 1.142578 1.845384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03297461-0.03220803) × R
    0.000766580000000003 × 6371000     		dl = 4883.88118000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03297461-0.03220803) × R
    0.000766580000000003 × 6371000     		dr = 4883.88118000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01917476-0.01994175) × cos(0.03297461) × R
    0.000766990000000002 × 0.999456386807366 × 6371000     		do = 4883.83692778185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01917476-0.01994175) × cos(0.03220803) × R
    0.000766990000000002 × 0.999481366238124 × 6371000     		du = 4883.95898960264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03297461)-sin(0.03220803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999456386807366-0.999481366238124)×R²
    abs(0.01994175-0.01917476)×2.49794307582984e-05×R²
    0.000766990000000002×2.49794307582984e-05×6371000²
    0.000766990000000002×2.49794307582984e-05×40589641000000     		ar = 23852378.4935585m²