Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4121 / 3961
↖ ↑ ↗
← N 79.446465°
W134.725342°		 ← 223.75 m → N 79.446465°
W134.714355°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
N 79.444453°
W134.725342°		 ← 223.79 m →
50 068 m²		 N 79.444453°
W134.714355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125778198242188 y=0.120895385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125778198242188 × 215)
    floor (0.125778198242188 × 32768)
    floor (4121.5)     		tx = 4121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120895385742188 × 215)
    floor (0.120895385742188 × 32768)
    floor (3961.5)     		ty = 3961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4121 / 3961 ti = "15/4121/3961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4121/3961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4121 ÷ 215
    4121 ÷ 32768     		x = 0.125762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3961 ÷ 215
    3961 ÷ 32768     		y = 0.120880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.74847412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35140080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120880126953125 × 2 - 1) × π
    0.75823974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38208041591983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35140080} λ = -2.35140080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38208041591983))-π/2
    2×atan(10.8274049545994)-π/2
    2×1.47869936352122-π/2
    2.95739872704244-1.57079632675     		φ = 1.38660240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35140080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.725342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38660240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.446465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4121 KachelY 3961 -2.35140080 1.38660240 -134.725342 79.446465
    Oben rechts KachelX + 1 4122 KachelY 3961 -2.35120905 1.38660240 -134.714355 79.446465
    Unten links KachelX 4121 KachelY + 1 3962 -2.35140080 1.38656728 -134.725342 79.444453
    Unten rechts KachelX + 1 4122 KachelY + 1 3962 -2.35120905 1.38656728 -134.714355 79.444453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38660240-1.38656728) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38660240-1.38656728) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35140080--2.35120905) × cos(1.38660240) × R
    0.000191749999999935 × 0.18315415527989 × 6371000     		do = 223.748304890432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35140080--2.35120905) × cos(1.38656728) × R
    0.000191749999999935 × 0.183188681084233 × 6371000     		du = 223.790482968155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38660240)-sin(1.38656728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18315415527989-0.183188681084233)×R²
    abs(-2.35120905--2.35140080)×3.45258043428776e-05×R²
    0.000191749999999935×3.45258043428776e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.45258043428776e-05×40589641000000     		ar = 50068.2944873505m²