Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41209 / 7965
↖ ↑ ↗
← N 79.403115°
E 46.367798°		 ← 112.32 m → N 79.403115°
E 46.373291°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
N 79.402105°
E 46.367798°		 ← 112.33 m →
12 617 m²		 N 79.402105°
E 46.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628807067871094 y=0.121543884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628807067871094 × 216)
    floor (0.628807067871094 × 65536)
    floor (41209.5)     		tx = 41209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121543884277344 × 216)
    floor (0.121543884277344 × 65536)
    floor (7965.5)     		ty = 7965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41209 / 7965 ti = "16/41209/7965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41209/7965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41209 ÷ 216
    41209 ÷ 65536     		x = 0.628799438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7965 ÷ 216
    7965 ÷ 65536     		y = 0.121536254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628799438476562 × 2 - 1) × π
    0.257598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80927074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121536254882812 × 2 - 1) × π
    0.756927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37795784255251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80927074} λ = 0.80927074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37795784255251))-π/2
    2×atan(10.7828600661707)-π/2
    2×1.47832106426161-π/2
    2.95664212852322-1.57079632675     		φ = 1.38584580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80927074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.367798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38584580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.403115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41209 KachelY 7965 0.80927074 1.38584580 46.367798 79.403115
    Oben rechts KachelX + 1 41210 KachelY 7965 0.80936661 1.38584580 46.373291 79.403115
    Unten links KachelX 41209 KachelY + 1 7966 0.80927074 1.38582817 46.367798 79.402105
    Unten rechts KachelX + 1 41210 KachelY + 1 7966 0.80936661 1.38582817 46.373291 79.402105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38584580-1.38582817) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38584580-1.38582817) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80927074-0.80936661) × cos(1.38584580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183897904296216 × 6371000     		do = 112.322590872757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80927074-0.80936661) × cos(1.38582817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183915233594154 × 6371000     		du = 112.333175396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38584580)-sin(1.38582817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183897904296216-0.183915233594154)×R²
    abs(0.80936661-0.80927074)×1.73292979377959e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73292979377959e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73292979377959e-05×40589641000000     		ar = 12616.7498332521m²