Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41208 / 9624
↖ ↑ ↗
← N 77.589407°
E 46.362305°		 ← 131.27 m → N 77.589407°
E 46.367798°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
N 77.588227°
E 46.362305°		 ← 131.28 m →
17 229 m²		 N 77.588227°
E 46.367798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628791809082031 y=0.146858215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628791809082031 × 216)
    floor (0.628791809082031 × 65536)
    floor (41208.5)     		tx = 41208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146858215332031 × 216)
    floor (0.146858215332031 × 65536)
    floor (9624.5)     		ty = 9624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41208 / 9624 ti = "16/41208/9624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41208/9624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41208 ÷ 216
    41208 ÷ 65536     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9624 ÷ 216
    9624 ÷ 65536     		y = 0.1468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1468505859375 × 2 - 1) × π
    0.706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21890320961316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21890320961316))-π/2
    2×atan(9.19723788985141)-π/2
    2×1.46249347379088-π/2
    2.92498694758177-1.57079632675     		φ = 1.35419062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35419062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.589407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41208 KachelY 9624 0.80917487 1.35419062 46.362305 77.589407
    Oben rechts KachelX + 1 41209 KachelY 9624 0.80927074 1.35419062 46.367798 77.589407
    Unten links KachelX 41208 KachelY + 1 9625 0.80917487 1.35417002 46.362305 77.588227
    Unten rechts KachelX + 1 41209 KachelY + 1 9625 0.80927074 1.35417002 46.367798 77.588227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35419062-1.35417002) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35419062-1.35417002) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80927074) × cos(1.35419062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214915890225131 × 6371000     		do = 131.26799732817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80927074) × cos(1.35417002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214936008810296 × 6371000     		du = 131.280285513938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35419062)-sin(1.35417002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214915890225131-0.214936008810296)×R²
    abs(0.80927074-0.80917487)×2.01185851640973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01185851640973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01185851640973e-05×40589641000000     		ar = 17228.7596333847m²