Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41206 / 9918
↖ ↑ ↗
← N 77.237501°
E 46.351318°		 ← 134.93 m → N 77.237501°
E 46.356811°		 →
↑
134.94 m
↓
↑
134.94 m
↓
N 77.236288°
E 46.351318°		 ← 134.94 m →
18 208 m²		 N 77.236288°
E 46.356811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628761291503906 y=0.151344299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628761291503906 × 216)
    floor (0.628761291503906 × 65536)
    floor (41206.5)     		tx = 41206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151344299316406 × 216)
    floor (0.151344299316406 × 65536)
    floor (9918.5)     		ty = 9918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41206 / 9918 ti = "16/41206/9918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41206/9918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41206 ÷ 216
    41206 ÷ 65536     		x = 0.628753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9918 ÷ 216
    9918 ÷ 65536     		y = 0.151336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628753662109375 × 2 - 1) × π
    0.25750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80898312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151336669921875 × 2 - 1) × π
    0.69732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19071631263657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80898312} λ = 0.80898312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19071631263657))-π/2
    2×atan(8.94161581365653)-π/2
    2×1.45942251152074-π/2
    2.91884502304148-1.57079632675     		φ = 1.34804870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80898312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.351318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34804870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.237501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41206 KachelY 9918 0.80898312 1.34804870 46.351318 77.237501
    Oben rechts KachelX + 1 41207 KachelY 9918 0.80907899 1.34804870 46.356811 77.237501
    Unten links KachelX 41206 KachelY + 1 9919 0.80898312 1.34802752 46.351318 77.236288
    Unten rechts KachelX + 1 41207 KachelY + 1 9919 0.80907899 1.34802752 46.356811 77.236288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34804870-1.34802752) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dl = 134.937780000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34804870-1.34802752) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dr = 134.937780000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80898312-0.80907899) × cos(1.34804870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220910197931246 × 6371000     		do = 134.929247164681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80898312-0.80907899) × cos(1.34802752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220930854611851 × 6371000     		du = 134.941864012564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34804870)-sin(1.34802752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220910197931246-0.220930854611851)×R²
    abs(0.80907899-0.80898312)×2.06566806051078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06566806051078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06566806051078e-05×40589641000000     		ar = 18207.904314922m²