Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41206 / 7317
↖ ↑ ↗
← N 80.038114°
E 46.351318°		 ← 105.66 m → N 80.038114°
E 46.356811°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
N 80.037163°
E 46.351318°		 ← 105.67 m →
11 168 m²		 N 80.037163°
E 46.356811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628761291503906 y=0.111656188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628761291503906 × 216)
    floor (0.628761291503906 × 65536)
    floor (41206.5)     		tx = 41206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111656188964844 × 216)
    floor (0.111656188964844 × 65536)
    floor (7317.5)     		ty = 7317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41206 / 7317 ti = "16/41206/7317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41206/7317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41206 ÷ 216
    41206 ÷ 65536     		x = 0.628753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7317 ÷ 216
    7317 ÷ 65536     		y = 0.111648559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628753662109375 × 2 - 1) × π
    0.25750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80898312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111648559570312 × 2 - 1) × π
    0.776702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4400840644601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80898312} λ = 0.80898312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4400840644601))-π/2
    2×atan(11.4740052583107)-π/2
    2×1.48386246699057-π/2
    2.96772493398113-1.57079632675     		φ = 1.39692861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80898312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.351318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39692861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.038114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41206 KachelY 7317 0.80898312 1.39692861 46.351318 80.038114
    Oben rechts KachelX + 1 41207 KachelY 7317 0.80907899 1.39692861 46.356811 80.038114
    Unten links KachelX 41206 KachelY + 1 7318 0.80898312 1.39691202 46.351318 80.037163
    Unten rechts KachelX + 1 41207 KachelY + 1 7318 0.80907899 1.39691202 46.356811 80.037163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39692861-1.39691202) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39692861-1.39691202) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80898312-0.80907899) × cos(1.39692861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172993036901237 × 6371000     		do = 105.662031234432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80898312-0.80907899) × cos(1.39691202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173009376750786 × 6371000     		du = 105.6720114147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39692861)-sin(1.39691202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172993036901237-0.173009376750786)×R²
    abs(0.80907899-0.80898312)×1.63398495483524e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63398495483524e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63398495483524e-05×40589641000000     		ar = 11168.4641957937m²